Limes bestimmen. Warum ergibt dies 1/e?

Question

Limes bestimmen:

\( \lim \limits_{x \rightarrow \pm \infty}\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=\frac{1}{e} \)

Warum ergibt dies 1/e?

Answer 1

Hi,

ich vermute es darf

$$\lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n = e^x $$

vorausgesetzt werden?

Mach nun eine Polynomdivision von Deinem Problem:

$$\frac{x}{1+x} = 1 - \frac1x$$

Das heißt Du hast nichts anderes stehen als:

$$\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{n}\right)^n = e^{-1} $$

mit x = -1

Alles klar?

Grüße