Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)= 4x^2\) und die Steigung \(m=2\) einer Tangente an die Parabel. Bestimme den Punkt P, in dem die Tangente die Parabel berührt.
Möglicher Weg ohne Ableitung:
\(y=2x+n\) ist eine zueinander parallele Geradenschar. Diese Schar nun zum Schnitt mit der Parabel bringen:
\( 4x^2=2x+n |-2x\)
\( 4x^2-2x=n |:4\)
\( x^2-\frac{2}{4}x=\frac{n}{4} \) quadratische Ergänzung:
\( x^2-\frac{2}{4}x+(\frac{1}{4})^2=\frac{n}{4} +(\frac{1}{4})^2\) 2.Binom:
\( (x-\frac{1}{4})^2=\frac{n}{4} +(\frac{1}{4})^2 |±\sqrt{~~}\)
\(x_1,_2=\red{\frac{1}{4}}±\sqrt{\frac{n}{4} +\frac{1}{16}}\)
Eine Tangente liegt dann vor, wenn die Diskriminante \(=0\):
\(\frac{n}{4} +\frac{1}{16}=0\)
\(n=-\frac{1}{4}\)
Die Tangente hat so die Gleichung \(y=2x-\frac{1}{4}\)
Die Berührstelle ist nun \(x=\red{\frac{1}{4}}\)
\(y(\red{\frac{1}{4}})=2\cdot\red{\frac{1}{4}}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\)
Koordinaten des Berührpunktes: B\((\frac{1}{4}|\frac{1}{4})\)