Flächeninhaltsfunktion Integrale

Question

Hallo

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen Sie die Flächenmaßzahl der oberen und unteren Treppenfläche mit n = 5 über dem Intervall [0;1] für den Graphen von f (x) = x³

Mit der Integralrechung könnte ich das ja ganz einfach lösen:

Aufleiten F(x) = 1/4 x^4

und dann 1 einsetzen, somit ist die Fläche 1/4.

Jedoch verstehe ich den rechenweg mit den Treppen nicht. Ich muss das Koordinatensystem dann ja in Spalten einteilen, welche eine länge von 5 cm habne (n = 5)

Wie berechnet man das dann ? Vielleicht kann mir ja jemand mit der Aufgabe weiterhelfen

Comments

Also ich wollte es versuchen, aber ich kann das nur mit der Trapezregel ..

Answer 1

Hi, das n bedeutet, Du musst das Intervall [0, 1] in \( n \), also in 5 gleiche Abschnitte unterteilen. D.h. jeder Abschnitt ist 0.2 lang.

Die Untersumme berechnet sich aus den Funktionswerten am linken Rand eines jeden Abschnittes, multipliziert mit der Abschnittsbreite (also 0.2).

Die Obersumme berechnet sich genauso, nur das man die Funktionswerte am rechten Rand der Abschnitte nimmt.

In Formeln bedeutet das

\( U=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k) \cdot \frac{1}{n} \) und \( O=\sum_{k=1}^{n}f(x_k) \cdot \frac{1}{n} \) wenn

\( x_k= \frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \frac{3}{n}, \frac{4}{n},  \frac{5}{n}  \) für \( k=0, ... n \quad\)ist.