Lineare Optimierung Maximierungsproblem Biotonnen

Question

Ein Unternehmen stellt aus Plastik Biotonnen und Schnellkomposter auf drei Maschinen A, B und C her. Für eine Biotonne werden A und B jeweils 3 Minuten belegt, Maschine C 12 Minuten. Ein Schnellkomposter belegt A mit 9, B mit 3 und C mit 6 Minuten. Maschine A kann täglich bis zu 5 Stunden eingesetzt werden, B bis zu 2 Stunden und C bis zu 6 Stunden. Der Gewinn beim Verkauf einer Biotonne beträgt 20 €, bei einem Schnellkomposter 30 €.

a) Wie hoch ist der größtmögliche Gewinn und bei welcher Produktion wird er erreicht?

b) Biotonnen erzielen im Augenblick einen höheren Gewinn. Der Gewinn für Schnellkomposter bleibt unverändert. Ab welchem Gewinn lohnt es sich, nur noch Biotonnen herzustellen?

c) Der Gewinn für eine Biotonne fällt wieder auf 20 €. Schnellkomposter bringen weiterhin einen Gewinn von 30 € je Stück. Es soll zusätzlich eine Mülltonne hergestellt werden, die beim Verkauf einen Gewinn von 18 € erzielen soll. Eine Mülltonne belegt Maschine A mit 3 Minuten und Maschine B mit einer Minute. Bei welcher Produktion wird der größtmögliche Gewinn erreicht, wenn mit der vorhandenen Maschinenkapazität produziert wird.

Comments

Mit welchen Lösungsverfahren dürft ihr arbeiten ?

Bei a) bekommt Wolframalpha 10 Biotonnen und 30 Schnellkomposter heraus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Maximize%5B%7B20b%2B30s%2C3b%2B9s%3C%3D300%26%263b%2B3s%3C%3D120%26%2612b%2B6s%3C%3D360%26%26b%3E0%26%26s%3E0%7D%2C+%7Bb%2C+s%7D%5D

Als Lösungsverfahren kommt eine graphische Lösung oder auch die Simplex-Methode zur Anwendung.

Eines davon solltest du sicher können oder nicht?

Stelle die Bedingungen auf unter denen produziert wird. Trage die Restriktionsgeraden in ein Koordinatensystem ein. Trage dann ein paar Isogewinngeraden ein. Diejenige Gewinngerade die gerade noch durch die Definitionsmenge läuft bildet dann den größtmöglichen Gewinn.

b) Überlege die wie die Gewinngerade aussehen sollte die gerade nur noch die Produktion von Biotonnen erlaubt.

c) Ich denke hier würde ich persönlich eventuell auf den Simplex umstellen, weil ich momentan nicht wüsste wie ich das zeichnen kann mit drei Produkten.

Aber meist kommen einem beim Lösen ja noch ein paar andere Ideen.

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@mathecoach
Irgendwo hakelt es bei mir noch zum Verständnis der Frage.
Maschine A : Gewinne
Biotonne : 300 : 3 = 100 Stk * 20 € = 2000 €
Schnellk. : 300 : 9 = 33 Stk * 30 € = 990 €
Der maximale Gewinn wird bei Maschine A mit
der Biotonne erzielt.
So mit jeder Maschine verfahren und dann die
Gewinne aufsummieren.
Wo ist mein Fehler ?

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Georgborn: Die Maschinenzeiten führen zu Nebenbedingungen.

Versuch vielleicht mal die ausführlichen Erklärungen hier zu verstehen: https://www.mathelounge.de/41397/optimierung-herstellung-produkte-beansprucht-maschinentypen

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Maschine A : Gewinne 
Biotonne : 300 : 3 = 100 Stk * 20 € = 2000 € 
Schnellk. : 300 : 9 = 33 Stk * 30 € = 990 € 
Der maximale Gewinn wird bei Maschine A mit 
der Biotonne erzielt. 
So mit jeder Maschine verfahren und dann die 
Gewinne aufsummieren. 

Du hast jetzt so gerechnet als würde man nur Biotonnen oder Schnellkomposter auf Maschine A fertigen. Du lässt hier dann keine Mischungen aus beiden zu oder?

Wenn es nur nach Maschine A ginge würden wir nur Biotonnen produzieren. Es ist anzunehmen das es für die anderen Maschinen anders aussieht und es sich dort lohnt nur Schnellkomposter zu produzieren.

Ziel ist es hier die richtige Mischung aus beiden zu produzieren.

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" Du hast jetzt so gerechnet als würde man nur Biotonnen oder
Schnellkomposter auf Maschine A fertigen. Du lässt hier dann
keine Mischungen aus beiden zu oder? "

Klar lasse ich auch Mischungen zu.

Deine Lösung " 10 Biotonnen und 30 Schnellkomposter " kann ich
auf Maschine A  in  10 * 3 min  +  30 * 9 min = 30 + 270 min  doch
in 5 Std auf Maschine A allein fertigen.
Oder wo ist mein Denkfehler ?

mfg Georg

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Maschine A macht meinetwegen nur den Body, Maschine B macht nur die Deckel. Aber man braucht Body und Deckel für die Produkte.

Ich brauche also für die Biotonne 3 Minuten auf Maschine A, 3 Minuten auf Maschine B und 12 Minuten auf Maschine C.

Wenn Maschine C also ausfällt kann ich gar keine Biotonnen mehr produzieren.

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Na, da haben wir es doch.
Für die Produktion eines Produkts werden
Maschine A und B und C benötigt.
Da Mißverständnis war doch ganz einfach
zu beschreiben.

Answer 1

Du musst für (a) folgende Gleichung
$$ (1) \quad 20x+30y $$
unter den Nebenbedingungen
\( (2) \quad x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad 3x+9y \le 300, \quad 3x+3y \le 120, \quad 12x+6y \le 360 \)
maximieren.

Aufgabe (b) kannst Du der Grafik entnehmen.

Und für Aufgabe (c) ist folgende Geleichun
$$ (3) \quad 20x+30y+18z $$
unter den Nebenbedingungen
\( (4) \quad x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0 \)
\( 3x+9y+3z \le 300, \quad 3x+3y+z \le 120, \quad 12x+6y \le 360 \)
maximieren.