Beweise, dass es eine Ellipse gibt die die Seiten des Dreiecks ABC jeweils in genau einem Punkt berührt

Question

Aufgabe steht oben.

Zudem ist gegeben, dass das Dreieck ABC spitzwinklig aber nicht gleichseitig ist und dass die Brennpunkte dieser Ellipse der Höhenschnittpunkt, bzw. der Umkreismittelpunkt sind.

Mir ist klar, dass ,,in genau einem Punkt berühren" heißt dass die Dreiecksseiten Tangenten an die Ellipse sind.

Ich weiß außerdem wie man eine Tangente an eine Ellipse konstruiert.

Es würde mir schon sehr helfen wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte.

Schonmal an alle die versuchen mir zu helfen,

Anonym

Comments

Hey noch mal ich...

Selbst wenn ihr irgendeine Idee habt würde ich mir schon sehr über einen Tipp freuen...

Danke

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Ok Danke an alle die versucht haben mir zu helfen.

Leider ist es inzwischen sowie so zu spät....

Trotzdem Danke

Anonym

P.S.: Wie krieg ich es hin das die Frage als beantwortet gilt???

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Ohne Antwort ist die Frage nicht beantwortet.

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Answer 1

In Kurzform:

Der Feuerbachkreis (rot) eines Dreiecks \(\triangle ABC\) geht durch die Mittelpunkte der Strecken \(HA\), \(HB\) und \(HC\). Damit ist der Höhenschnittpunkt \(H\) das Zentrum einer zentrischen Streckung des Feuerbachkreises auf den Umkreis (grün) des Dreiecks um den Faktor 2. \(U\) sei der Mittelpunkt des Umkreises.

\(X\) sei ein beliebiger Punkt auf dem Umkreis. Die Mittelsenkrechte jeder Strecke \(HX\) ist eine Tangente an eine Ellipse deren Brennpunkte in \(H\) und \(U\) liegen. Fällt \(X\) mit dem Punkt \(H_a\) zusammen, der eine Spiegelung von \(H\) an der Seite \(a\) ist, so fällt diese Mittelsenkrechte auf die Seite \(a\). Das gleiche gilt für \(H_b\) und \(b\) sowie \(H_c\) und \(c\). Folglich sind die drei Seiten Tangenten an genau diese Ellipse.

Comments

... wen es interessiert:

Inzwischen habe ich heraus gefunden, dass es sich bei der obigen Ellipse um die sogenannte MacBeath-Ellipse handelt. Bei der Recherche ist mir dann noch die Steiner-Umellipse über den Weg gelaufen. Mit der hatte ich vor Jahren sogar mal beruflich zu tun, wusste aber damals nicht, dass sie so heißt.