Wie beweise ich i^{4n} = 1? Komplexe Zahlen

Question

Da mir das beweisen schwer fällt bitte nicht gleich lösung sagen möchte es selbst machen

Ich habe gerade gelernt i^4n =1 (danke dafür)

Will es aber beweisen und üben bitte nur tipps geben wie ich mich da ranmachen sollte.

Auch wenn ich 3tage oder mehr brauchen sollte will es gern alleine.

Weiss aber nicht wie ich das anstellen soll.

Ich kenne:

Vollständige Induktion

In/Dirketer Beweis

Hilfe

Danke

Comments

$$\text{Tipp: }z^{xy}=(z^x)^y.$$

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Warum z^xy

Und nicht i^4n oder so ?

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Wähle  z = i, x = 4, y = n.

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Ist doch das selbe oder nicht;)

Aber egal

Ich weiss noch nicht mal welche methode ich wählen/muss  .

Answer 1

Der Tipp oben im Kommentar ist schon sehr hilfreich für dich, ergänzend dargestellt:

i^4·n =1

(i⁴)ⁿ =1

// Wie bekommst du das n weg?
// Wenn du es nicht weißt, markiere mit der Maus →  n-te Wurzel

...

Schaffst du den Rest alleine?

Comments

Dann muesste es

I^4=1^{1/n} sein.

1=n×wurzel(1)

Gleich n=1.

Ist das so korrekt?

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Ja, so ist es.

n-te Wurzel aus 1 ist immer 1.

n-te Wurzel aus (i^4)^n ist i^4.

i^4 = 1

Und zusätzlich sei angeführt: i^4 = i^2·i^2 = (-1)·(-1) = 1

und damit i^{4·n} = (i^4)^n = (i^2·i^2)^n = ( (-1)·(-1) )^n = 1^n = 1

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Coole idee mit der Schraffierung des nächsten Schrittes.

Reicht aber n=1 als beweis aus?

Der ganze schritt noch mal

i^4·n =1

(i^4)^n =1

Nwurzel.

1=nwurzel(1)

N=1

Q.e.d?

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Hi, ich finde es naheliegender, von

$$ i^4 = ((i^2)^2) = 1 $$

auf

$$ i^{4 \cdot n} = (i^4)^n = 1^n = 1 $$

zu schließen.

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Deins ist praktischer^^Stimmt aber?i4·n =1(i4)n =1Nwurzel.1=nwurzel(1)N=1Q.e.d?

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Ja, so ist es. n-te Wurzel aus 1 ist immer 1.

Das ist falsch.

In den komplexen Zahlen - darum geht es hier ja wohl - gibt es n n-te Wurzeln der 1, die haben sogar einen eigenen Namen innklusive Wikipedia-Seite:

https://de.wikipedia.org/wiki/Einheitswurzel

Außerdem zeigt der Strang hier doch gerade, dass i eine 4.te Wurzel der 1 ist. 

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Ich verstehe nicht. Wieso ist n wurzel 1 nicht immer 1?

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immai: Im Komplexen hat die Gleichung x^n = 1 immer genau n verschiedene Lösungen. Eine davon ist immer die reelle Zahl x=1.

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Der Sachverhalt zu den Wurzeln aus den Komplexen Zahlen war mir ehrlich gesagt noch nicht bekannt. Danke für den Hinweis.

Fragt sich nur, ob jetzt der obige "Nachweis" trotzdem gültig ist.

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Wegen

$$ \sqrt[4n]{\textrm{i}^{\,4n}}=\textrm{i} $$
hätte ich Zweifel...

Answer 2

Meine Umformung mit Potenzgesetzen:

i^{4n} = (i^4)^n      |i^4 = i^2 * i^2 = (-1)*(-1) = 1

= 1^n

= 1.