Stammfunktion bilden mit Partialbruchzerlegung (komplex)? f(x) = x^3 / ( (x - 2)^2 * (x^2 + 4) )

Question

Abend Leute!

Habe hier eine Stammfunktion (Hochschule) zu bilden für

f:R>2 -> R
f(x) = x^3 / ( (x - 2)^2 * (x^2 + 4) )

Ich habe es mit Partialbruchzerlegung versucht bin aber nicht wirklich weit kommen.

Comments

Partialbruchzerlegung ist schon der richtigen Weg. Woran scheitert das denn?

- Schau vielleicht mal ein paar Lösungen bei den ähnlichen Fragen an. oder über die Suche bei Partialbruchzerlegung.

Definitionsbereich (R>2) soll wohl ]2, ∞[ bedeuten. Das sorgt dafür, dass alle Faktoren im Nenner > 0 sind. Und dass nicht durch 0 dividiert wird.

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Danke auch dir für die Antwort!

 

Ich habe die Klammern im Nenner ausmultipliziert, sodass ich ein Polynom vierter Ordnung dort stehen habe. Dann habe ich versucht, per Polynomdivision die Nullstellen zu berechnen, doch irgendwie komme ich auf die erste Nullstelle nicht, oder mache ich hier was komplett falsch?

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Der Nenner ist ja schon fertig faktorisiert (im Reellen). Wenn das komplexe Zahlen wären, sie man aufgrund deiner Überschrift vermuten könnte, könnte man noch die Nullstellen von x^2 + 4 hinzunehmen, wie in der Antwort von Thilo87

 (x - 2)² * (x² + 4)

Reell brauchst du die Nenner 

(x-2), (x-2)^2 und x^2 + 4

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Ja, mein Fehler. Ich habe ein Buch, in dem die Partialbruchzerlegung in 3 "Fälle" eingeteilt wird: einfache Nullstelle, doppelte Nullstelle, komplexe Nullstellen (komplex im Sinne von kompliziert und nicht "Menge C").

 

Wie müsste ich denn jetzt vorgehen? A/(x-2) +B/(x-2)^2 +C/(x^2+4) ?

Answer 1

Für alle, die das jetzt noch lesen. Dieses LGS ist doch der helle Wahnsinn ist das.  Schau mal hier; die Rothstein-Trager Residuenintegration. Setzt sich einfach nicht  durch - total ignoriert.

https://www.mathelounge.de/241144/hilfe-bei-partialbruchzerlegung

Bitte arbeite es durch; ich kann unmöglich alles zwei Mal sagen.

f  ( x )  :=  x ³  /  ( x  -  2 )  ²  ( x ²  + 4  )    =    ( 1a )

                 =  A /  ( x  -  2 ) +  B  /  ( x  -  2 )  ²  +  C  /  (  x  -  2 i )  +  C*  /  (  x  +  2 i )    ( 1b )

 

      Den Integrationskreis legen wir um x0 = 2  ;  die komplexen Pole bleiben ausgesperrt .   Ich kann es nicht deutlich genug sagen:  Polstellen bzw. Residuern erster, zweiter, drittter, vierter ... Ordnung entsprechen der nullten, ersten, zweiten, dritten ... Ableitung des Integralkerns. Diese Ableitungen werden dir Mund gerecht serviert im Gaußschen Dreiecksformat. Deshalb müssen wir zunächst den quadratischen Pol eliminieren und das Residuum erster Ordnung ermitteln; Multiplikation von  ( 1ab )  mit dem Faktor ( x - 2 )

x ³  /  ( x  -  2 )  ( x ²  + 4  )    =    ( 1c )

                 =  A   +  B  /  ( x  -  2 )  +  C  ( x  -  2 )   /  (  x  -  2 i )  +  C*  ( x  -  2 )  /  (  x  +  2 i )     ( 1d )

 

      A  leistet keinen Beitrag, weil es eine ganze Funktion ist;  B ist Integralkern und überlebt  in ( 1d ).  Integralkern in ( 1c ) ist " alles, was Sinn voll ist "

G  (  x  ;  2  )  =  x ³  /  ( x ²  + 4  )   ( 2a )

B  =  G  (  2 ;  2  )  =  2  ³  /  (  2 ²  +  4 )  =  1    ( 2b )

Die Integration von ( 1b )  liefert den Koeffizienten A ; B wird unterdrückt als Ableitung einer konstanten Funktion. Links in ( 1a ) hast du die Ableitung des Integralkerns G ' ( 2 ; 2 )

( x ²  + 4  )   G  (  x  ;  2  )  = x  ³   ( 3a )

       ( x ²  + 4  )   G  '  (  x  ;  2  )   +  2 x   G  (  x  ;  2  )  =  3  x  ²     ( 3b )

                          
                        8  G  '  (  2  ;  2  )  +  4  =  3  *  2  ²  |  :  4   ( 3c )

                      2  G  '  (  2  ;  2  )  +  1  =  3    ====>    A  =   G  '  (  2  ;  2  )  ( 3d )

      Für C hast du Business as usual:

        G  (  x  ;  2 i  )  =  x ³  /  ( x  -  2 )  ²  (  x  +  2 i )     ( 4a )

Comments

Er hat schon wieder diesen Bug mit den 8 000 Zeichen. Also mach ich mal fertig.

C  =  G  (  2i  ;  2i  )  =  -  2 ³  i   /  2  ²  (  i  -  1  )  ²  *  2  ²  i  =  (  4b )

=  -  i /  4    (  4c )

f ( x ) =  1  /  ( x - 2 ) +  1 / ( x - 2 )  ²  -  i / 4  (  x  - 2 i )  +   i / 4  (  x + 2i )     (  4c )

Hurrraaa  !!!

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1++%2F++%28+x+-+2+%29+%2B++1+%2F+%28+x+-+2+%29++%C2%B2++-++i+%2F+4++%2F+%28++x++-+2+i+%29++%2B+++i+%2F+4++%2F+%28++x+%2B+2i+%29

Answer 2

Also bei mir hat die Partialbruchzerlegung funktioniert:

Comments

Danke dir für deine Antwort, doch wo kommen auf einmal die "i"s her?

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Welche meinst du? Die hier?:

x^2 + 4 = 0

x^2 = -4

x = +-sqrt(-4) = +- sqrt(4*(-1)) = +- 2*i

x1 = 2i

x2 = -2i

=> x^2 + 4 = (x-2i)(x+2i)

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Ja, genau, das verwirrt mich, da wir ja die Funktion ja nicht auf C abgebildet wird.

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Hmm weiss auch nicht genau... Vielleicht kann der Lu dazu nochmal was sagen. Aber eigentlich ergibt das ganze ja wieder ein reelles Ergebnis...

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Also wenn du das im Reellen machen möchtest, musst du statt C, Cx + D einsetzen, wegen dem quadratischen Term.

Answer 3

Rechne das noch nach:

x^3 / ((x-2)^2 (x^2+4) = A/(x-2) +B/(x-2)² + (Cx + D) / (x²+4)

$$ \frac { { x }^{ 3 } }{ { (x-2) }^{ 2 }*({ x }^{ 2 }+4) } =\quad \frac { A }{ (x-2) } +\frac { B }{ { (x-2) }^{ 2 } } +\frac { Cx+D }{ { x }^{ 2 }+4 } \quad |*HN\\ \\ { x }^{ 3 }\quad =\quad A(x-2)({ x }^{ 2 }+4)\quad +\quad B({ x }^{ 2 }+4)\quad +\quad (Cx+D){ (x-2) }^{ 2 }\\ { x }^{ 3 }\quad =\quad A{ x }^{ 3 }+\quad 4Ax\quad -\quad 2A{ x }^{ 2 }\quad -\quad 8A\quad +\quad B{ x }^{ 2 }+4B\quad +\quad (Cx+D){ x }^{ 2 }\quad -\quad 4(Cx+D)x\quad +\quad 4(Cx+D)\\ { x }^{ 3 }\quad =\quad A{ x }^{ 3 }+\quad 4Ax\quad -\quad 2A{ x }^{ 2 }\quad -\quad 8A\quad +\quad B{ x }^{ 2 }+4B\quad +\quad C{ x }^{ 3 }+D{ x }^{ 2 }\quad -\quad 4C{ x }^{ 2 }-4Dx\quad +\quad 4Cx+4D\\ A+C=1\quad ;\quad C\quad =\quad 1-A\\ 4D\quad +\quad 4B\quad -\quad 8A\quad =\quad 0\quad ;\quad D\quad +\quad B\quad -\quad 2\quad A\quad =\quad 0\\ 4A\quad -\quad 4D\quad +\quad 4C\quad =\quad 0\quad ;\quad A\quad -\quad D\quad +\quad C\quad =\quad 0\quad ;\quad 0=\quad A-D\quad +1-\quad A\quad =\quad 1-D.\quad D=1\quad \quad \\ -2A\quad +\quad B\quad +\quad D\quad -\quad 4C\quad =\quad 0\quad ;\quad 0=\quad -2A\quad +\quad B\quad +\quad 1\quad -\quad 4(1-A)\quad =\quad -2A\quad +\quad B\quad +\quad 1\quad -\quad 4\quad +\quad 4A\\ ->\quad 2A\quad +\quad B\quad -\quad 3\quad =\quad 0\\ \quad \quad \quad \quad 1\quad +\quad B\quad -\quad 2A\quad =\quad 0\\ addieren\\ 2B\quad -\quad 2\quad =\quad 0\\ B\quad =\quad 1\\ 1+1-2A\quad =\quad 0.\quad A\quad =\quad 1\\ C\quad =\quad 1-1\quad =\quad 0\\ \\ \frac { { x }^{ 3 } }{ { (x-2) }^{ 2 }*({ x }^{ 2 }+4) } =\quad \frac { 1 }{ (x-2) } +\frac { 1 }{ { (x-2) }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { x }^{ 2 }+4 } \\ $$