Welcher Punkt der Ebene hat den kürzesten Abstand zum Koordinatenursprung?

Question

Gegeben ist die Ebene mit der Gleichung \( x+y+2 z=1 \). Welcher Punkt der Ebene hat den kürzesten Abstand zum Koordinatenursprung?

Answer 1

Alternative mit Vektorgeometrie:

Du kannst den Normalenvektor auf E ablesen als n = (1,1,2)

Schneide nun das Lot g durch 0(0,0,0) mit E.

g: r = t*(1,1,2) mit E.

x+y+2z = 1

g einsetzen:

t + t + 4t = 1

6t = 1

t = 1/6

Schnittpunkt  S (1/6 , 1/6, 1/3)

Abstand d = √ ((1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/3)^2) 

Answer 2

$$ r=\sqrt{x^2 +y^2+ z^2} $$

wäre die Hauptbedingung, in die die Nebenbedingung (Ebenengleichung) hineingebaut werden muss.

Dann Ableitung und Minimum suchen.

ausgearbeitet sieht das dann so aus:

$$ x+y+2z=1 $$
$$ x=1-y-2z $$
$$ r=\sqrt{x^2 +y^2+ z^2} $$
$$ r=\sqrt{(1-y-2z)^2 +y^2+ z^2} $$
$$ r=\sqrt{(1-y-2z)-y(1-y-2z)-2z(1-y-2z) +y^2+ z^2} $$
$$ r=\sqrt{1-y-2z-y+y^2+2yz-2z+2yz+4z^2 +y^2+ z^2} $$
$$ r=\sqrt{1-2y-4z+2y^2+4yz+5z^2} $$
um uns bei der Ableitung nicht unnötig mit der Wurzel zu quälen, quadrieren wir die Gleichung
$$ r^2=1-2y-4z+2y^2+4yz+5z^2 $$
$$ \frac{\partial r^2}{\partial y}=-2+4y+4z $$
$$ \frac{\partial r^2}{\partial z}=-4+4y+10z $$
$$ \frac{\partial r^2}{\partial y}=0 $$
$$ \frac{\partial r^2}{\partial z}=0 $$
$$ 0=-2+4y+4z $$
$$ 4y=2-4z $$
$$ 0=-4+4y+10z $$ 
$$ 4y=4-10z $$
$$ 2-4z =4-10z$$
$$ 6z =2$$
$$ z =\frac13$$

alle Angaben ohne Gewehr - der Fluchtweg ist abgeschlossen ...

Comments

z=1/3 bestätigt durch meine Rechnung.