Hi.
Betrachte \(f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R},~f(x)=x^{\frac{1}{x}}\). Gesucht ist nun \(\int f(x) dx\).
Wegen \(x>0\) gilt \(\int f(x) dx = \int \exp(\ln(f(x))) dx = \int \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\ln(f(x))^k}{k!} dx\). Wenn man jetzt f einsetzt und die Logarithmengesetze anwendet und Summen- und Integralzeichen tauscht so erhält man
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int \frac{\ln(x)^k}{x^k} dx ~. $$
Mit \(t:=\ln(x)\) folgt
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int \frac{t^k}{x^{k-1}} dt $$
und da \(x=e^t\) schließlich
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \int \frac{t^k}{e^{t(k-1)}} dt~. $$
Jetzt brauch ich eine Idee, um das Integral allgemein zu lösen, da man das ja dann auf jeden Summanden übertragen können sollte. Aber da hab ich einfach nen Brett vorm Kopf. Ich denke eine gescheite Substitution ist zielführend, aber mir will einfach keine einfallen.
Bin für jeden Tipp dankbar!
