Antwort mit KI erzeugt
Lösungsvorschlag zur Aufgabe:
Um beide Teilaufgaben zu lösen, werden wir jeweils die Hin- und Rückrichtungen der Äquivalenzen beweisen. Dabei nutzen wir verschiedene fundamentale Eigenschaften stetiger Funktionen und Integralrechnung.
a) \(g \equiv 0 \Leftrightarrow \forall h \in \mathcal { C } ^ { 0 } ( [ a , b ] ) : \int _ { a } ^ { b } g ( x ) h ( x ) d x = 0 \):
Hinrichtung \((\Rightarrow)\):
Wenn \(g \equiv 0\), dann ist \(g(x) = 0\) für alle \(x \in [a, b]\). Für jede stetige Funktion \(h(x)\) ist das Produkt \(g(x)h(x) = 0 \cdot h(x) = 0\). Das Integral über eine konstante Nullfunktion ist gleich null:
\(
\int _ { a } ^ { b } g ( x ) h ( x ) d x = \int _ { a } ^ { b } 0 d x = 0
\)
Rückrichtung \((\Leftarrow)\):
Angenommen, für jede stetige Funktion \(h(x)\) gilt \(\int _ { a } ^ { b } g ( x ) h ( x ) d x = 0\). Wir müssen zeigen, dass \(g(x) = 0\) für alle \(x \in [a, b]\). Angenommen, das wäre nicht der Fall, d.h., es gibt ein \(x_0 \in [a, b]\), so dass \(g(x_0) \neq 0\). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(g(x_0) > 0\) (der Fall \(g(x_0) < 0\) folgt analog). Aufgrund der Stetigkeit von \(g\) gibt es eine Umgebung um \(x_0\), in der \(g(x) > 0\). Wählen wir nun eine Funktion \(h(x) > 0\) in dieser Umgebung und \(h(x) = 0\) außerhalb (z.B. eine "Glockenfunktion"), dann ergibt sich:
\(
\int _ { a } ^ { b } g ( x ) h ( x ) d x > 0
\)
was im Widerspruch zur Annahme steht. Also muss \(g(x) = 0\) für alle \(x \in [a, b]\) gelten.
b) Für \(q > 0\) gilt: \(g \equiv 0 \Leftrightarrow \int _ { a } ^ { b } | g ( x ) | ^ { q } d x = 0\):
Hinrichtung \((\Rightarrow)\):
Wenn \(g \equiv 0\), ist \( | g ( x ) | ^ { q } = 0^q = 0\) für jedes \(x \in [a, b]\) und jedes \(q > 0\). Das Integral über die konstante Nullfunktion ist null:
\(
\int _ { a } ^ { b } | g ( x ) | ^ { q } d x = 0
\)
Rückrichtung \((\Leftarrow)\):
Angenommen, \(\int _ { a } ^ { b } | g ( x ) | ^ { q } d x = 0\) für ein \(q > 0\). Falls \(g(x) \neq 0\) für irgendein \(x \in [a, b]\), dann wäre \(|g(x)| > 0\) und somit \(|g(x)|^q > 0\) für dieses \(x\), da \(q > 0\). Aus der Positivität der Potenzfunktion folgt, dass das Integral eines strikt positiven Ausdrucks über einem Intervall \( [a, b] \), welches keine Nullmenge ist, ebenfalls strikt positiv sein müsste. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass das Integral null ist. Daher muss \(g(x) = 0\) für alle \(x \in [a, b]\) sein.
Diese Beweise zeigen die geforderten Äquivalenzen unter Nutzung der Eigenschaften von Stetigkeit, Integralrechnung und der spezifischen Annahmen zu \(g\) und \(h\).
