Komplexe Lösung der Gleichung bestimmen. z^2 = 1 - i

Question

ich bräuchte bitte kurz eure Hilfe für folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichung:

z² = 1 - i

Answer 1

Variante A :

Umformen zur Polardarstellung, Wurzel aus Betrag und Hälfte des Winkels. Weitere Lösung beachten !

Variante B:

$$ (a+ib)^2=1-i $$
$$ a^2+i2ab+i^2 b^2=1-i $$
$$ a^2-b^2+i2ab=1-i $$
Trenne nach Re und Im:
$$ a^2-b^2=1 $$
$$2ab=-1 $$
Löse das Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen

Comments

Vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort. Könntest du das vielleicht kurz einmal durchrechnen, damit ich das Schema einfach sehe und im Kopf habe. Wäre echt sehr nett. :)

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Variante A ist hier optimal erklärt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_%28Mathematik%29#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Variante B da ist das Wesentliche ja bereits vorgerechnet - das Gleichungssystem am Ende sollte bereits sicher beherrscht werden, wenn man sich in die komplexe Zahlenmenge stürzt. Probiere mal selber wie weit du kommst - ich schau dann mal ...

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Ich kriegs leider nicht raus...

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Ich komme auf keine Lösung damit... Kann es sein, dass es nicht aufgeht??

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Es geht ganz sicher auf. welche Variante verfolst du ?

A:

forme die untere Geichung nach b um und setze in die darüber ein.

multiplipziere mit a^2 und sustituitiere dann a^2, um die biquadratische Gleichung zu lösen.

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unten hätte ich doch :

b = -0,5/a

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Ja - da ist der erste kleine Schritt. Nun einsetzen in die Gleichung darüber.

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a² - (-0,5/a)² = 1

a² - 0,25/a² = 1   /√

a - 0,5/a = 1

a = 1 + 0,5/a

a = 0,5a/2a

a=0,25

so oder wie?

sry für all die fragen aber nach 5 monate abi pause und jetz direkt im studium voll einsteigen ... hart :D

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Stop da hab ich alles falsch eingegeben...^^ war wohl zu spät..

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$$ a² - \frac1{4a^2} = 1   /√  $$
Jetzt schon die komplette Gleichung zu "entwurzeln" kann ich gaaarnicht empfehlen, denn die Wurzel ist keine Äquivalenzfunktion. Abgesehen davon entsteht danach folgendes:
$$ \sqrt{a² - \frac1{4a^2}} =  \pm\sqrt1    $$
eine wirkliche Vereinfachung ist das wohl nicht ...
Aber so gehts :
$$ a² - \frac1{4a^2} = 1     $$ multipliziere beide Seiten mit a^2
$$ a^4 - \frac1{4} = a^2     $$ sortiere
$$ a^4  - a^2- \frac1{4}=0     $$ substituiere a^2=u
$$ u^2  - u- \frac1{4}=0     $$ Mitternachtsformel
$$ a_1= \sqrt u_1$$
$$ a_2= -\sqrt u_1$$
$$ a_3= \sqrt u_2$$
$$ a_4= -\sqrt u_2$$

und frage ruhig - ich freue mich über jeden Fragesteller, der bereit ist, sich an der Erschliessung des Lösungsweges aktiv zu beteiligen.

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Vielleicht registrierst Du hier einen "richtigen" Account - "Gäste" lassen sich so schwer zuordnen und es wär schon interessant, wenn man sich ungefähr vorstellen kann, was man mit "Gast xyz" schon mal gemacht hat und was nicht. Zumal die Beantwortung dann per email benachrichtigt würde und die Arbeitsfrequenz optimiert.

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ok hab ich jetzt gemacht ;) ja super vielen dank echt für den rechnungsweg. :)

Answer 2

Hallo

allgemeine Lösungsform für z^2 = re + im i
z1 = r^0.5 * e^{i*phi/2}   sowie
z2 = r^0.5 * e^{i*(phi/2 +180°)}
z1^2 = r*e^iphi = r * (cos phi) + i * r * (sinphi) = 1 - i
r1*cos phi1 = 1
r1*sin phi1 = -1
Teilen ergibt : (r1*sin phi1) / (r1*sin phi1) = tan phi1 = -1/1 = -1 => phi1 = -45°
Daraus folgt r1 = -1/(sin phi1) = -1/(1/2)^0.5 = 2^0.5

=> z1 = 2^0.25 * e^{i* (-22.5°)} = 2^0.25 * (cos -22.5 +i*sin -22.5) = 2^0.25 *(cos +22.5° -i*sin +22.5°)
= 2^0.25 *( (1/2 +1/2*cos 45°)^0.5)     - i * 2^0.25*( (1/2 -1/2 * cos 45°)^0.5 )
= 2^0.25 *( (1/2 +1/2 * (1/2)^0.5)^0.5)     - i * 2^0.25*( (1/2 -1/2 * (1/2)^0.5)^0.5 )
= (1/2 * 2^0.5 +1/2 )^0.5  - i * (1/2 * 2^0.5 -1/2)^0.5
z1 = 1.09864113 - i * 0.45508986
=> z1^2 = 1.09864113^2 -0.45508986^2  -i * 2*0.45508986*1.09864113 = 1 -i

=> z2 = 2^0.25 * e^{i* (-22.5° +180°)} = 2^0.25 * e^{i*(157.5°)} = 2^0.25 * (cos 157.5 +i*sin 157.5)

= 2^0.25 *( - (1/2 +1/2*cos 45°)^0.5)     + i * 2^0.25*( (1/2 -1/2 * cos 45°)^0.5 )
= 2^0.25 *(-  (1/2 +1/2 * (1/2)^0.5)^0.5)     + i * 2^0.25*( (1/2 -1/2 * (1/2)^0.5)^0.5 )
= - (1/2 * 2^0.5 +1/2 )^0.5 + i * (1/2 * 2^0.5 -1/2)^0.5
z2 = - 1.09864113 + i * 0.45508986
=> z2^2 = (-1.09864113)^2 -0.45508986^2  -i * 2*0.45508986*1.09864113 = 1 -i

Comments

Ist das dein ernst? :) :)

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Die Ergebnisse sind korrekt - der Weg ... ist einer von vielen nach Rom