Umkehrfunktion zu g(z)=7-z/(2z+10)

Question

hallo (:

ich habe folgende aufgabe:

bestimmen sie die umkehrfunktion zu g(z)= $$ \frac { 7-z }{ 2z+10 } $$. welche definitions- und wertemenge hat die Funktion g?

ich hab zunächst mal den definitionsbereich von g bestimmt: D = {z ∈ ℝ \ -5}  (polstelle?)

meine umkehrfunktion lautet: g^-1(z) = -2z²-10+7

stimmt das? ich hab mir das vorhin durch bisschen googlen 'selbst beigebracht' weil ich es nicht konnte, aber bin mir deshalb nicht sicher, ob es stimmt.

und diesen aufgabenteil mit dem wertebereich verstehe ich nicht so ganz. bezieht sich das dann noch auf die ausgangsfunktion? diese hat ja eine definitionslücke bei -5 und ich

muss ich für den wertebereich das maximun/Minimum der Funktion bestimmen?

danke schon mal für antworten

Comments

Einmal die Nachfrage : ist die Frage für dich nunmehr
klar beantwortet ?

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 sorry für die späte antwort, aber ja, danke.

hab alles jetzt verstanden (:

Answer 1

y = 7 - x/(2·x + 10)

x/(2·x + 10) = 7 - y

x = (7 - y)·(2·x + 10)

x = - 2·x·y + 14·x - 10·y + 70

2·x·y - 13·x = - 10·y + 70

x·(2·y - 13) = - 10·y + 70

x = (- 10·y + 70)/(2·y - 13)

x = (70 - 10·y)/(2·y - 13)

Comments

@coach:

von Zeile 1 zu Zeile 2 ist dir glaubich ein kleines Missgeschick unterlaufen:

Zitat:

y = 7 - x/(2·x + 10)

x/(2·x + 10) = 7 - y

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Ah. der Fehler stammt nicht von mir. Ich habe nur die Funktion so interpretiert wie sie in der Überschrift stand. Den Rest hatte ich gar nicht erst gelesen.

y = (7 - x)/(2·x + 10) 

y·(2·x + 10) = 7 - x

2·x·y + 10·y = 7 - x

2·x·y + x = 7 - 10·y

x·(2·y + 1) = 7 - 10·y

x = (7 - 10·y) / (2·y + 1)

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Noch zur Anregung wegen dem Definitionsbereich.

sei die Funktion F eine Zuordnung von dem Definituionsbereich 

so ist die Umkehrfunktion eine Zuordnung vom Wertebereich in den Definitionsbereich.

Das ist jetzt mathematisch nicht korrekt gesagt aber ich hoffe es macht es etwas deutlich was ich sagen will. Bei der Umkehrfunktion vertauschen sich die Definitions und die Wertemenge.

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Das mit der Umkehrung von Def- und Wertebereich scheint hier nicht zu
funktionieren.

für g
D = ℝ \ { -5 }
W = ℝ

für g^{-1}
D = ℝ \ { -1/2 }
W = ℝ

Wieso ? Begündung oder Link.

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Ich ergänze mal für Dich:

für g 
D = ℝ \ { -5 } 
W = ℝ \ { -1/2 }   

für g^-1 
D = ℝ \ { -1/2 } 
W = ℝ \ { -5 } 

Vielleicht hilft eine Skizze bei der Erkenntnis

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danke. Fülltext. mfg Georg

Answer 2

$$  g(z)=\frac{7−z}{2z+10} $$
Umkehr:
$$  g=\frac{7−z(g)}{2z(g)+10} $$
auflösen nach z(g):$$$$
$$  g \cdot (2z(g)+10)=7−z(g) $$
$$  g \cdot 2z(g)+10g =7−z(g) $$
$$  g \cdot 2z(g)+z(g)  =7−10g$$
$$  z(g)\cdot (2g+1)  =7-10g$$
$$  z(g)  =-\frac{7-10g}{2g+1}$$

Comments

Wenn wir noch auf den Definitionsbereich kommen wollen:

$$ 2g+1 \ne 0$$

für die Umkehrfunktion also  $$ \mathbb{D}= \{g|g\in \mathbb{R} \quad \not \quad (-\frac12)\}$$

Answer 3

Der Definitionsbereich ist richtig und bei \( z=-5 \) ist eine Polstelle. Die Umkehrfunktion stimmt nicht, da schreib doch mal wie Du darauf gekommen bist. Kontrollieren kannst Du es eigentlich selber. Wenn \( g(z)=\frac{7-z}{2z+10} \) und \( h(z)=-2z^2-10+z \) dann muss gelten \( g(h(z))=z \)
Der Wertebereich ist \( \mathbb{R} \)

Comments

ich habe die Gleichung nach y anstatt nach z aufgelöst, daher bekam ich eine falsche 'umkehrfunktion'.. hab mich da irgendwie vertan.

ich habs dann jetzt richtig und bedanke mich bei allen für die antworten (: