Äquivalenz der Aussagen beweisen: (i) A ⊆ M (ii) A ∪ B ⊆ B (iii) A ⊆ A ∩ B

Question

Schönen guten Morgen, mir liegt folgende Aufgabe vor:

Seien A und B Mengen. Man zeige die Äquivalenz der folgenden Aussagen.
(i) A ⊆ M
(ii) A ∪ B ⊆ B
(iii) A ⊆ A ∩ B

Ich weis, das ich zeigen muss, dass (i) ⇒ (ii) , (ii) ⇒ (iii) und (iii) ⇒ (i)
Jedoch habe ich Probleme bei der Formulierung des Beweises.

Comments

Was ist M? Du meinst wohl B anstatt M be (i)?

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ja du hast recht, da habe ich mich vertippt, soll das B sein

Answer 1

du hast schon richtig erkannt, dass du hier per Ringschluss die einzelnen Äquivalenzen zeigen kannst. Du beginnst mit einer der Folgerungen und verwendest jeweils beim zeigen deine jeweilige Voraussetzung.

Beispiel: (i) => (ii)

Voraussetzung: A ⊆ B, d.h. ∀x ∈ A gilt x ∈ B,

zu zeigen: A ∪ B ⊆ B

Da A⊆B => A ∪ B = B, da B ⊆ B folgt somit A ∪ B ⊆ B.

Ähnlich kannst du bei den anderen Schritten vorgehen.

Hoffe das hilft.

Gruß