Summe(k=1 bis n) k^{3}=(summe(k=1 bis n) k)^{2}

Question

Mein gedanke

(n(n+1)/2)^{3}=(n(n+1)/2)^{2}

Ist echt schwierig umzuformen.

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Deine linke Seite macht auch keinen Sinn, deswegen vielleicht?

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Meinst du

$$\sum_{k=1}^n k^3 = \left( \sum_{k=1}^n k \right) ^2$$

? Wenn ja, dann ist die linke Seite aber

$$ \frac{1}{4} n^4 + \frac{1}{2} n^3 + \frac{1}{4} n^2$$

laut https://de.wikipedia.org/wiki/Faulhabersche_Formel#Explizite_Darstellungen und das ist nicht dasselbe wie das was du hast. Deine rechte Seite stimmt aber.

Answer 1

Mir ist immer etwas schleierhaft was du da in deinen Umformungen vor hast. Da steht fast 3 mal die gleiche Zeile oder sehe ich das verkehrt und nachher sieht es schlimmer aus als am Anfang.

1/4·n^4 + 1/2·n^3 + 1/4·n^2 = (n·(n + 1)/2)^2

1/4·n^4 + 1/2·n^3 + 1/4·n^2 = n^2·(n + 1)^2/4

n^4 + 2·n^3 + n^2 = n^2·(n + 1)^2

n^4 + 2·n^3 + n^2 = n^2·(n^2 + 2·n + 1)

n^4 + 2·n^3 + n^2 = n^4 + 2·n^3 + n^2

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Ich danke dir.

Warum wird hier nicht A(n) -> n+1 gemacht?

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Weil das nach ullim die Explizite Form wäre. Du kannst die explizite Form wenn du willst aber noch mit der vollständigen Induktion nachweisen.

es ging aus deiner Aufgabe nicht hervor was du nutzen darfst. Du hast für die rechte Seite einfach eine explizite Summenformel benutzt. Also ist ullim wohl davon ausgegangen das diese benutzt werden dürfen.

Soll es mit vollständiger Induktion gezeigt werden dann darfst du meist keine explizite Summenformel verwenden.

Wichtig ist also die original Aufgabenstellung zu kennen.

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Das ist die originalle aufgabe

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8ch habe es endlich geschaft

Nach 2tagen ohne mir die lösung angeschaut habe.

Ich schicke gleich bild nach ^^

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Yes, endlich zumindest einen^^

Answer 2

Jetzt nur noch zeigen, das \( \frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 \) gilt.

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Bun ich auf dem richtigen weg?

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Ich würde einfach beide Seiten ausmultiplizieren, linke wie rechte Seite, dann siehst Du die Gleichheit. So ich bin dann für heute mal weg.

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Hab eine probe gemacht muesste falsch sein