n*1=1*n beweisen ∀n∈ℕ

Question

Heyy

ich möchte beweisen, dass

n*1=1*n   ∀n∈ℕ

einfach vollständige Induktion? Da Natürliche Zahl?

Answer 1

Hi, Du hast natürlich Recht, das Kommutativgesetz der Multiplikation für natürliche Zahlen kann man nicht mit dem Kommutativgesetz selber beweisen. Du musst die Peano Axiome anwenden.
Hier geht das wie folgt mit Induktion:

Induktionanfang \( P_0 \): \( \quad 0 \cdot 1=1 \cdot 0 \) gilt wegen der Definition der Multiplikation
Jetzt gelte \( P_n \) also \( n \cdot 1 = 1 \cdot  n \) zu zeigen ist jetzt \( (n+1) \cdot 1 = 1 \cdot (n+1) \)
Es gilt \( (n+1)\cdot 1=n+1=n\cdot 1 +1=1\cdot n+1=1+...+1+1=1\cdot(n+1) \)

Damit ist alles bewiesen. s. auch

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=316&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCEQFjAA

Comments

Verwendest Du nicht selbst im dritten Schritt das Kommutativgesetz?

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Nein, ich hverwende nur die Peano Axiome und die Definitionen für die Multiplikation. Sieh Dir den Link mal genau an. Da ist es genauer beschrieben.

Answer 2

Das folgt einfach aus dem Kommutativgesetz, und das ist ein Axiom (also nicht zu beweisen).
Es gilt sogar für alle reellen Zahlen m, n: \(m\cdot n=n\cdot m\), also nicht nur für m=1.

Comments

Ich weiß, dass es das Kommutativgesetzt ist :)

oh schade^^

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Das denke ich falsch, siehe oben