Question

Zeigen Sie für die Beta-Funktion

B(x,y) := ∫₀¹ t^x-1(1-t)^y-1dt

(a) B(x,y) = B(y,x),
(b) Für alle n ∈ N ist B(x,n) = (x-1)! / ∏^n-1_k=0 (x+k)

Comments

Mal eine kleine Inspiration für die (a). Mit der Substitution \(s:=1-t\) folgt \(t = 1-s\) und \(ds=-dt\) also wird dein Integral zu

$$ -\int_{1}^{0} (1-s)^{x-1} s^{y-1} ds = B(y,x) $$

Beachte, dass die Grenzen substituiert wurden und die Tatsache, dass die Grenzen "vertauscht" sind und dadurch das Integral mal -1 genommen wird. Das hebt sich allerdings mit dem -1 durch die Substitution auf. Das erst mal wie gesagt als Inspiration, musst dir noch Gedanken darum machen, wann das ein uneigentliches Integral wird und diese Fälle dann unterscheiden.

Answer 1

zu (a)

Das kann man, wenn bekannt, auch mittels Gammafunktion leicht beweisen, da gilt

$$  B(x,y)=\frac{\Gamma(x)\cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}  $$

Zu (b)

Was meinst Du mit \( (x-1)! \) Die Fakultät ist nur für natürliche Zahlen definiert. Die Verallgemeinerung ist die Gammafunktion. Meinst Du das?

Comments

(x-1) ! ist eigentlich (n-1)!