E-Funktionen: Anwendungen, Kurvendiskussion, Rekonstruktion und Optimierungen

Question

ich bin seit mehreren Stunden gefrustet über folgende Aufgaben:

Anwendungen:

1.) Eine Mikropopulation wächst täglich um 60 % an. Zu Beginn der Beobachtung sind 200 Mirkoben vorhanden. Wann sind es mehr als 1 Million Mikroben?

Eigener Lösungsvorschlag:

f(x) = c * a^x

_{1.000.000 = 200*1,6}x

5000 = 1,6^x

x = log_(1,6)(5000)

x = 18,12 Jahre

2.) Eine Tiefkühlkosthersteller arbeitet mit einer Gefrieranlage, deren Abkühlungsvorgang bei Gemüse durch die Funktion f(t) = 93 * 0,925^t -18 beschrieben wird. (f(t) beschreibt die Temperatur des Gemüses nach t Minuten)

2a) Mit welcher Anfangstemperatur kommt das Gemüse in die Anlage? Wie hoch ist die geplante Zieltemperatur?

Eigener Lösungvorschlag:

f(0) = 93 * 0,925⁰ -18

f(0) = 75°C (Anfangstemperatur)

Die Zieltemperatur ist -18°C

2b) Welche Temperatur hat das Gemüse nach 15 Minuten?

Eigener Lösungsvorschlag:

f(15) = 93 * 0,925¹⁵ -18

f(15) = 10,88 °C

2c) Wann unterschreitet die Temperatur den Gefrierpunkt?

Eigener Lösungsvorschlag:

Gefrierpunkt: 0°C

0 = 93 * 0,925^t -18

18 = 93 * 0,925^t

(6/31) = 0,925^t

x = log_(0,925)(6/31)

x = 21, 064 Minuten

Die folgenden Aufgaben verstehe ich so gut wie Null! Ich komme einfach nicht drauf, bitte um eine aussagekräftigen Rechnung!

Kurvendiskussion:

3.) Beweisen Sie: Die Tangente an den Graphen der e-Funktion im Punkt P(a/e^a) schneidet die x - Achse an der Stelle x = a - 1. Welche geometrische Konstruktion der Tangente ergibt sich daraus?

(Soll ich für die Variabeln irgendwelche Zahlen ersetzen z.B. a = 5 ? )

4.) Gegeben ist die Funktion f(x) = e^x - x . Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema und  Wendepunkte. Begründen Sie aus den Ergebnissen, dass f(x) keine Nullstellen haben kann.

(ich weiß nur, dass e^x niemals 0 sein kann und somit keine Nullstellen besitzt, stimmt das?)

Eigener Lösungsansatz:

f'(x) = 0 --> Bedingung für Extrema

e^x -1 = 0

e^x  = 1          (was mache ich ab dieser Stelle?)

f''(x) = 0 --> Bedingung für Wendepunkte

e^x = 0           (da e^x niemals null sein kann, gibt es keine Wendepunkte, richtig?)

Rekonstruktionen

5.) Welche Werte müssen die Parameter a und b haben, damit sich die Funktionen

f(x) = 2e^x -1 und h(x) = -0,5x² +ax + b für x = 0 berühren?

Eigene Idee: (Es wird nach einem Schnittpunkt zweier Funktionen gesucht, deswegen die beiden Funktionen gleichsetzen, aber sie sollen sich beide für x = 0 berühren)

f(0) = h(0)

1 = b                       

1= -0,5x² +ax+1

0,5x² / x = a

0,5x = a                        (ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter)

6.) Die Funktion f(x) = (ax+b) * e^x geht durch den Punkt P (1 / 2e) und hat dort die Steigung m = 0,5e. Um welche Funktion handelt es sich?

Eigene Überlegung:

f(1) = 2e

f'(1) = m = 0,5e

f'(x) = a * e^x + (ax+b) * e^x

f'(x) = (a + ab +b) * e^x

(mehr weiß ich damit nicht anzufangen)

Optimierung ( bei diesen beiden Aufgaben habe ich keine Idee, wie sie zu lösen sind)

7.) Bestimmen Sie den Punkt des Graphen von f(x) = e^x + 1 dessen Abstand vom Nullpunkt am kleinsten ist.

8.) Welches Rechteck mit achsenparallelen Seiten zwischen f(x) = e^x und den Koordinatenachsen hat den größten Flächeninhalt?

Das sind eine Menge Aufgaben und ich hoffe, dass sich Jemand Zeit nehmen kann, um mir zu helfen.

Vielen Dank !

Comments

Hi, habe gerade nicht soviel Zeit, weshalb ich nur einen Teil deiner Aufgaben kommentiere:

zu 1.): Ergebnis ist richtig, nur es ist halt in Tagen und nicht in Jahren.

zu 2a): Korrekt.

zu 2b): Korrekt.

zu 2c): Korrekt.

zu 3.): Hier ist die Frage, was die "e-Funktion" ist. Ich nehme aufgrund des gegebenen Punktes f(x)=e^x an. Na ja, jetzt hast du zwei Punkte, P₁(a|e^a) und P₂(a-1,0), gegeben, durch die die Tangente g(x)=mx+n laufen soll. Daraus ergibt sich:

$$m = \frac{0 - e^a}{(a-1)-a} = e^a$$.

Setzen wir die Steigung m und den Punkt P₂ in g(x) ein, ergibt sich weiter:

$$0 = e^a \cdot (a-1) + n \quad \Leftrightarrow \quad n = - e^a \cdot (a-1)$$

und somit:

$$g(x) = e^a x - e^a \cdot (a-1) = e^a \cdot (x - a + 1) \ .$$

Was das für eine "geometrische Konstruktion" sein soll, kann ich nicht sagen, da ich nicht weiß, was mit diesem Ausdruck gemeint ist.

Eventuell kommt gleich noch mehr von mir, je nachdem wieviel Zeit ich habe.

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zu 4.): Ja, e^x ist niemals 0, egal welche reelle Zahl man für x einsetzt. Dein e^x=1 kannst du auflösen, indem du auf beiden Seiten den ln() anwendest, den Logarithmus zur Basis e:

$$ e^x = 1 \quad | ln() \\ ln(e^x) = ln(1) \\ x = 0 \ .$$

Jetzt weißt du, dass du ein Extremum an der Stelle x=0 haben *kannst*. Um dies zu verfizieren, musst du noch die zweite Ableitung bilden, die Stelle x=0 einsetzen und schauen ob sie ungleich Null ist:

$$f''(x) = e^x \quad \Rightarrow \quad f''(0) = e^0 = 1 \ .$$

Die zweite Ableitung ist für unsere Stelle also ungleich Null. Somit haben wir ein Extremum. Da die zweite Ableitung größer Null ist, haben wir einen Tiefpunkt.

Den Rest der Aufgabe machen wir jetzt mal mit Logik. Wenn wir die Stelle unseres Tiefpunktes, also x=0 für unsere Funktion f(x) einsetzen, erhalten wir f(0)=1. Da dies wie gesagt ein Tiefpunkt ist und wir keine Hochpunkt an anderen Stellen haben, müssen alle anderen f(x)-Werte über f(0)=1 liegen, also größer als 1 sein. Somit kann f(x) die x-Achse nicht schneiden. Wenn du etwas nicht verstehst, frag ruhig nach.

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zu 5.): f(0)=h(0) zu setzen ist schon mal richtig. Dadurch erhalten wir b=1. Dass du im nächsten Schritt h(x)=1 setzt, macht keinen Sinn. Dadurch sagst du sozusagen, dass der y-Wert 1 sein soll und du möchtest schauen, für welches x dies gilt. Dies steht aber nicht in der Aufgabenstellung. Wir haben zwei Unbekannte (a, b), also brauchen wir auch zwei Gleichungen. Die erste haben wir, dadurch erhalten wir unser b. Die zweite Gleichung erhalten wir, indem wir wissen, dass wenn sich die beiden Funktionen an der Stelle x=0 *berühren*, auch ihre Steigung an dieser Stelle gleich sein muss (würden sie sich schneiden, wäre die Steigung nicht gleich).

$$f'(x) = 2e^x \ , \quad h'(x) = -x+a\\ f'(0) = h'(0) \\ \Rightarrow \quad 2e^0 = -0+a \\ \Leftrightarrow \quad a = 2 \ .$$

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zu 6.): Ja, es gilt f(1)=2e. Dadurch erhalten wir

$$f(1) = (a+b) \cdot e \\ (a+b) \cdot e = 2e \quad | :e \\ a+b = 2$$

Die Ableitung f'(x) hast du richtig gebildet, aber beim Ausklammern ist ein kleiner Fehler aufgetreten. Richtig ist:

$$f'(x) = e^x \cdot (a + ax + b) \ . \\ f'(1) =e \cdot (2a +b)  \\ e \cdot (2a +b) = 0,5e \quad | : e \\ 2a + b = 0,5 \ .$$

Die beiden Gleichungen a+b=2 und 2a+b=0,5 kannst du für a und b lösen, indem du z.B. die erste gleichung nach a umformst und in die zweite Gleichung einsetzt. Es ergeben sich a=-1,5 und b=3,5.

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Bitte schreibe doch noch eine richtige Antwort und nicht nur ein Kommentar. Du hast ja schon so viel beantwortet.

Eigentlich sollte der Fragesteller für unabhängige Fragen jeweils eine extra Frage aufmachen und das nicht als eine Aufgabe einstellen. Nur zusammenhängende Aufgaben sollten auch zusammen eingestellt werden. Daher würde es auch langen nur einen Punkt zu bearbeiten eine richtige Antwort zu schreiben und dann zu bitten den rest als eigenständige Fragen einzustellen.

Answer 1

Meine Gedanken zu den Aufgaben ( etappenweise, ist ja doch
ein bißchen viel )

zu 1.) worauf yukawah auch schon hingewiesen hat
x = 18.12 Tage nicht Jahre
außerdem
x > 18.12 Tage ( Aufgabenstellung mehr als )

zu 3.)
Beweisen Sie: Die Tangente an den Graphen der e-Funktion
im Punkt P(a/e^a) schneidet die x - Achse an der Stelle x = a - 1.
Welche geometrische Konstruktion der Tangente ergibt sich daraus?
(Soll ich für die Variabeln irgendwelche Zahlen ersetzen z.B. a = 5 ? )

Es ist die Funktion f ( x ) = e^x gemeint. Dies ergibt sich auch aus der
Angabe des Punkts ( a | e^a ). Du sollst zeigen das für einen beliebigen
Punkt mit x = a gilt :  die Tangente im Punkt a schneidet die x-Achse im
Punkt ( 1 - a | 0 ).
Ich kann den Beweis mit Skizze gern hier noch einstellen.
Welche geometrische Konstruktion der Tangente ergibt sich daraus?
Da weiß ich allerdings auch nicht was damit gemeint ist.

Der Nachweis

mfg Georg

Comments

zu 5.)
In der Aufgabenstellung steht der Begriff " Berührpunkt ".

Zur Lösung der Aufgabe ist dies der Wichtigste.

Der Berührpunkt von f ( x ) und h ( x ) ist definiert mit
f ( x ) = h ( x ) und
f ´ ( x ) = h ´( x )

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zu 7.)



Da der Extrempunkt für √ term und term derselbe ist
kann die Wurzel entfallen. Damit spart man sich Arbeit.
Die Lösung siehe Antwort Mathecoach.

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zu 8.)
Das Rechteck kann sich nur im 2.Quadranten unterhalb der
e^x Kurve befinden.
Siehe Antwort Mathecoach.
Deshalb hat er von Anfang an ein Minus
zur Flächenberechnung eingesetzt.
x = -1
A = - ( -1 ) * e^{-1} = 0.3679

Auch von mir die Bitte jede Teilaufgabe als
eigene Frage zu stellen. Sonst wirds ein bißchen
viel.

Answer 2

6.) Die Funktion f(x) = (ax+b) * e^x geht durch den Punkt P (1 / 2e) und hat dort die Steigung m = 0,5e. Um welche Funktion handelt es sich?

f(x) = e^x·(a·x + b)

f'(x) = e^x·(a·x + a + b)

f(1) = e·(a + b) = 2·e --> a + b = 2

f'(1) = e·(2·a + b) = 0.5·e --> 2·a + b = 0.5

Wir erhalten das LGS

a + b = 2

2·a + b = 0.5

Hieraus erhalten wir die Lösung a = -1.5 ∧ b = 3.5

Die Funktion lautet f(x) = e^x·(3.5 - 1.5·x)

Comments

7.) Bestimmen Sie den Punkt des Graphen von f(x) = e^x + 1 dessen Abstand vom Nullpunkt am kleinsten ist.

Quadratischer Abstand vom Ursprung

d = x^2 + f(x)^2 = x^2 + (e^x + 1)^2 = e^{2·x} + 2·e^x + x^2 + 1

d' = 2·e^{2·x} + 2·e^x + 2·x = 0

Wir kommen auf eine Näherungslösung von

x = -0.7218782656

f(-0.7218782656) = 1.485838864 --> P(-0.7219 | 1.4858)

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8.) Welches Rechteck mit achsenparallelen Seiten zwischen f(x) = e^x und den Koordinatenachsen hat den größten Flächeninhalt?

A = - e^x·x

A' = - e^x·(x + 1) = 0

x = - 1

f(-1) = 1/e = 0.3679