A,B Mengen. Abbildung f: A nach B. Zeige f^{-1}(N1 ∩ N2) = f^{-1}(N1 ) ∩ f^{-1}(N2 ). usw.

Question

Seien A,B Mengen, f: A→B eine Abbildung, M₁, M₂  ⊆ A und N₁, N₂ ⊆ B. zeigen Sie:

a) f (M₁ ∩ M₂ ) ⊆ f (M₁ ) ∩ f (M₂ );    und  f^-1(N₁ ∩ N₂) = f^-1 (N₁ ) ∩ f^-1(N₂ ).

b) Unter welcher Voraussetzung an f gilt für alle Mengen M₁,M₂  ⊆ A die Beziehung f (M_{1 ∩} M₂ )=f (M₁)∩ f (M₂)? (beweis)

Comments

b) gilt vielleicht, wenn f injektiv ist.

Answer 1

f (M₁ ∩ M₂ ) ⊆ f (M₁ ) ∩ f (M₂ );

Sei y aus f (M₁ ∩ M₂ ). Dann gibt es ein x in  M₁ ∩ M2 mit  f(x)=y

  Dann ist x aus M1 und es ist x aus M2

Dann ist y=f(x) aus f(M1) und   y= f(x) aus f(M2)

also   y aus f (M₁ ) ∩ f (M₂ ).

Mit der Urbild menge kannst du so ähnlich argumentieren.

Fang mal an mit:     Sei x aus   f^-1(N₁ ∩ N₂)

und versuche auf:  also x aus f^-1 (N₁ ) ∩ f^-1(N₂ )

zu kommen und dann auch umgekehrt, wegen "gleich"

Comments

Ah super danke :)

Weisst du auch b) der anfang wuerde mir schon reichen, das ist ja das schwierigste

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vielleicht sowas wie f injektiv oder f surjektiv ?

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Mal sehen, ob noch jemand antwortet ...

ich verstehe nicht ganz, warum du bei der a) im Gegensatz zum ersten Teil der Aufgabe "Sei x aus   f^-1(N₁ ∩ N₂)" sagst und nicht "Sei y aus   f^-1(N₁ ∩ N₂)". Fange gerade mit dem Mathe Studium an und wäre echt dankbar für eine Antwort :)

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Das ist nur so eine kleine Denkhilfe. Es heißt ja in der

Regel f(x) = y. Also x ist eher die bevorzugte Variable

für die Urbilder und y für die Bilder. Theoretisch ist das ganz egel,

kannst auch mit  sei "Sei  a aus   f^-1(N₁ ∩ N₂)" anfangen.

Also hier würde ich mit 

Sei x aus   f^-1(N₁ ∩ N₂) beginnen und hätte dann

==>  Es gibt ein y aus  N₁ ∩ N₂ mit f(x) = y 

Und damit ist ja  y ∈ N₁ und y ∈ N₂ .

Und wegen f(x) = y ist also x sowohl in

f^-1 (N₁ ) als auch in  f^-1(N₂ ).

Damit also auch x ∈  f^-1 (N₁ ) ∩ f^-1(N₂ ).

Und dann das ganze umgekeht :

Sei   x ∈  f^-1 (N₁ ) ∩ f^-1(N₂ )

und daraus schließen: x ∈   f^-1(N₁ ∩ N₂)

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Und für b) schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/224474/mengenlehre-aufgabe1-f-aub-f-a-u-f-b-zeigen

Die zusätzliche Vor. ist also tatsächlich:  " f injektiv".

Dann geht es wohl so: Du musst ja noch zeigen

f (M₁)∩ f (M₂)   ⊂   f (M_{1 ∩} M₂ ).

Sei also (jetzt nehme ich wieder y)

y ∈ f (M₁)∩ f (M₂)

==>   y ∈ f (M₁)   und y ∈ f (M₂)

Es gibt also x1 ∈  M₁ und  x2 ∈  M₂

mit f(x1 ) = y und f(x2) = y

Jetzt aber: Wegen der Injektivität gilt x1 = x2

also gibt es in  M₁ und in  M₂  das gleiche x, dessen Bild y ist,

also ist dieses x in M_{1 ∩} M₂  und damit y in  f (M_{1 ∩} M₂ ). q.e.d.