Beweis einer Äquivalenzrelation: (a,b) äquivalent zu (c,d) gdw. a+d = b+c

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass durch $$ (a, b) \sim(c, d) \quad \Leftrightarrow \quad a+d=b+c $$ auf \( \mathrm{N} \times \mathrm{N} \) eine Äquivalenzrelation definiert wird.

Konstruieren Sie eine Bijektion zwischen \( \mathbb{Z} \) und den Äquivalenzklassen bzgl. \( \sim . \)

Beweise dass durch (a,b)∼(c,d) ⇔ a+d=b+c auf N × N eine Äquivalenzrelation definiert ist. Und konstruieren ein Bijektion zwischen Z und den Äquivalenzklassen bzgl. ∼.

Wie kann man so etwas beweisen bzw. wie sieht die Lösung aus?

Nachtrag:

ich soll ohne Verwendung der Subtraktion zeigen, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

(a,b) ~ (c,d) :⇔ a +d = b+c

Eine Äquivalenzrelation liegt ja vor wenn etwas Refelxiv, Symmetrisch und Transitiv ist. Nur ich habe keine Idee wie ich das hier anwenden soll.

Answer 1

z.B. zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist zerfällt in drei
Teile
1. reflexiv:    Du musst also zeigen: Jedes Zahlenpaar
steht mit sich selbst in dieser Relation
also (a;b) ~ (a;b) d.h. nach der Definition a+b =b+a was offenbar stimmt.
2. symmetrisch seien   (a;b) ~ (c;d)
dann gilt    a+d = b+c und
diese Gleichung sagt aber auch
                          (c;d) ~ (a;b)
3. transitiv    wenn (a,b) ~ (c;d)   und (c;d) ~ (e;f)
dann ist a+d= b+c                              und   c+f  =  d+e
  zweite Gl z.B. nach c auflösen und in erste einsetzen gibt
               a+d   =  b+(d+e-f)     alles+ f
            a+d+f   =   b+d+e    minus d
              a+f  =   b+e             also
      (a;b) ~ (e;f)


 Fehlt natürlich noch die Bijektion.

Tipp:  In einer Äquivalenzklasse sind alle Paare, deren

Komponenten die gleiche Differenz haben.

Denn wenn man in Z rechnet, bedeutet ja

(a;b) ~ (c;d) auch  a-b  =   c - d

Also ist die Bijektion zu definieren durch

(a;b) -------------->  a-b

Das ist dann injektiv, denn die Vertreter von verschiedenen

Äquivalenzklassen ergeben ja verschiedene Differenzen.

surjektiv, weil natürlich jede vorgegebene Zahl aus Z

als Differenz vorkommt.

Answer 2

z.B. zeigen, dass es eine Äquivalenzrelation ist zerfällt in drei
Teile
1. reflexiv:    Du musst also zeigen: Jedes Zahlenpaar
steht mit sich selbst in dieser Relation
also (a;b) ~ (a;b) d.h. nach der Definition a+b =b+a was offenbar stimmt.
2. symmetrisch seien   (a;b) ~ (c;d)
dann gilt    a+d = b+c und
diese Gleichung sagt aber auch
                          (c;d) ~ (a;b)
3. transitiv    wenn (a,b) ~ (c;d)   und (c;d) ~ (e;f)
dann ist a+d= b+c                              und   c+f  =  d+e
  zweite Gl z.B. nach c auflösen und in erste einsetzen gibt
               a+d   =  b+(d+e-f)     alles+ f
            a+d+f   =   b+d+e    minus d
              a+f  =   b+e             also      (a;b) ~ (e;f)

Comments

Fehlt natürlich noch die Bijektion.

Tipp:  In einer Äquivalenzklasse sind alle Paare, deren

Komponenten die gleiche Differenz haben.

Denn wenn man in Z rechnet, bedeutet ja

(a;b) ~ (c;d) auch  a-b  =   c - d

Also ist die Bijektion zu definieren durch

(a;b) -------------->  a-b

Das ist dann injektiv, denn die Vertreter von verschiedenen

Äquivalenzklassen ergeben ja verschiedene Differenzen.

surjektiv, weil natürlich jede vorgegebene Zahl aus Z

als Differenz vorkommt.

Answer 3

Eine Äquvalenzrelation liegt ja vor wenn etwas Refelxiv, Symmetrisch und Transitiv ist. Nur ich habe keine Idee wie ich das hier anwenden soll.

Anwenden sollst Du das gar nicht, zeigen sollst Du es stattdessen. Z.B. bedeutet \((a,b)\sim(a,b)\) laut Definition \(a+b=b+a\). Das wird wohl stimmen, also ist die Relation reflexiv. Der Rest geht aehnlich.