Obere und Untere Schranke / Intervalle

Question

Sei M ⊂ ℝ beliebig. Weiterhin sei S die menge aller oberen Schranken von M und s die Menge aller unteren Schranken von M. Zeigen Sie, dass S und s Intervalle sind.
Bestimmen Sie außerdem alle Typen von Intervallen, die für S und s möglich sind.

Hier liegt das Problem beim zeigen, dass S und s Intervalle sind.
Mein Verständnis: Die Menge M beinhaltet alle Elemente, die zwischen S und s liegen.
Die Elemente über bzw. unter S, s sind dann Elemente aus ℝ aber nicht mehr M.
Wie kann man dies nun zeigen?

Zu Teilaufgabe 2 habe ich mir auch gedanken gemacht und hoffe sie sind so richtig.
Die Typen von Intervallen:

[ s, S ] := {x∈ℝ | s ≤ x ≤ S}

[ s, S [ := {x∈ℝ | s ≤ x < S}

] s, S ] := {x∈ℝ | s < x ≤ S}

] s, S [ := {x∈ℝ | s < x < S}

Answer 1

Ich seh das anders.
Wenn M nicht leer ist und du obere Schranken suchst, gibt es zwei Fälle:
1.  M hat gar keine oberen Schranken, dann ist die Menge aller oberen Schranken leer und
     ist dann z.B. gleich dem Intervall   ]0;0[.
2. M hat eine obere Schranke. Dann hat nach dem Vollständigkeitsaxiom M auch eine
kleinste obere Schranke, sagen wir mal k.
        Dann gibt es zwei Möglichkeiten            
             a)   k aus M, dann ist (weil alle Zahlen größer k auch obere Schranken sind)  
                                 S  =   [k;unendlich[
             b)   k nicht aus M, dann    S = ] k ; unendlich

So ähnlich kannst du auch für die unteren Schranken argumentieren.

Comments

In der Aufgabe wurde aber genannt, dass es eine obere- sowie untere Schranke gibt.
Und bei uns hat ℝ keine oberen bzw. unteren Schranken, also muss M ein Intervall zwischen S und s sein.

Wir sollen nur zeigen, dass S und s Intervalle sind.

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Wieso muss M ein Intervall sein? Da steht doch: "Sei \(M\subseteq \mathbb{R}\) beliebig."

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Edit:
Ahh, jetzt habe ich es verstanden.. War wohl mein Fehler.

Dann wäre es ja so zu verstehen:

Wenn M eine obere Schranke hat, dann gibt es auch eine kleinste obere Schranke (wie von Mathef genannt), dieses nennen wir S_k .
Dann gibt es ja die 2 möglichkeiten, für die sich dann folgende Intervalle bilden:
1. S_k liegt in M. S = [S_k  , ∞ [

2. S_k  liegt nicht in M. S = ] S_k , ∞ [

Nun dasselbe für die untere Schranke. Die größte untere Schranke nennen wir h.

Dann gibt es wieder 2 Intervalle:

1. h liegt in M. s = ] ∞, h ]

2. h liegt nicht in M. s = ] ∞, h [

So wäre es dann in Ordnung?

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Ich finde es so richtig.

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Wenn \(S_k\not\in M\) ist, wieso sollte dann \(S=]S_k, \infty[\) sein? D.h. wieso sollte \(S_k\) dann nicht zu der Menge dazu gehören? Du hast doch selber gesagt, \(S_k\) ist die kleinste obere Schranke, also ist \(S_k\) natürlich auch in der Menge der oberen Schranken enthalten.