Epsilon-Beispiel aus Vorlesung: Woher kommt n > (1/(√ε))?

Question

Wir haben diese Woche mit dem Thema "Folgen" begonnen. Nach Einleitung und Definitionen kamen dann Beispiele.

Eins davon war folgendes:

(1/n^2) -> 0 (n->∞)

Gegeben sei ein ε>0. Wir müssen ein n₀(ε) finden, so dass

∀ n≥n₀ : |(1/n^2) - 0 |  < ε  ⇔  ∀ n ≥n₀ : n > (1/(√ε))          |a_n-a|<ε

n₀(ε) := [1/(√ε)] +1 leistet das Gewünschte.

Meine Frage: Wo kommt das 1/(√ε) her ?! Oder könnte mir vielleicht jemand das Ganze kurz ausführlich aufschreiben, Schritt für Schritt, so dass man es es nachvollziehen kann.

Answer 1

1/n² - 0 < ε

Löse die gleichung mal nach n auf

1/n² < ε

1 < ε * n^2

n^2 > 1/ε

n > √(1/ε)

Comments

AAhh, okay verstanden.

Danke für die schnelle Hilfe!

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kurz dazu:

 " 1/n2 - 0 < ε
 Löse die gleichung mal nach n auf "

-> ... da ist doch gar keine Gleichung ... !?

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Da gibt es doch das "<". Eigentlich ist es daher auch eine Ungleichung.

Aber ich hab ja verstanden was gemeint war.

Answer 2

Hier die einzelnen Schritte:

∀ n≥n₀ : |a_n-a|<ε

∀ n≥n₀ : |(1/n^2) - 0 |  < ε  ⇔ 

∀ n≥n₀ : |(1/n^2) |  < ε  ⇔ 

∀ n≥n₀ : 1/n^2  < ε  ⇔ 

∀ n≥n₀ : n^2  > 1/ε  ⇔ 

∀ n ≥n₀ : n > 1/(√ε).

Comments

Danke auch dir für deine Hilfe !