Grenzwert bestimmen für folgende Funktion

Question

Wie berechnet man den Grenzwert?

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}} \)

Answer 1

Tipp:

erweitere den Bruch zuerst mit -> [ sqrt (n+2) + sqrt (n-1)]

dann wirst du problemlos den Grenzwert ->  3/2  .. erhalten..

ök?

Comments

kann ich die Zwischenschritte sehen? Verstehe nicht so ganz was die Erweiterung uns bringt...

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Im Zähler erhältst du
n * [ sqrt (n+2) - sqrt (n-1)] *  [ sqrt (n+2) + sqrt (n-1)]
Die Klammerausdrücke sind die 3.Binomische Formel
n * [  (n+2) - (n-1)]
n * [  2 + 1 ] 
3n

Im Zähler wirds ein bißchen komplizierter aber
sqrt (n+1) * [ sqrt (n+2) + sqrt (n-1) ]
sqrt [ (n+1) * (n+2) ] + sqrt [ ( n+ 1 ) * (n-1) ]
sqrt ( n^2 + 3n + 2 ) + sqrt ( n^2 - 1)
sqrt ( n^2 * ( 1 + 3/n + 2/n^2 )) + sqrt ( n^2* ( 1 - 1/n^2 ))
n * sqrt (  1 + 3/n + 2/n^2 ) + n * sqrt ( 1 - 1/n^2 )
wenn n-> ∞ geht erhält man
n * sqrt (  1 ) + n * sqrt ( 1 )
2n

(3n) / ( 2n) = 3/2