Monotonie, Umkehrfunktion und Differenzierbarkeit. f(x)=n√(xm) . f([0,∞)) =?

Question

Aufgabe:

Seien $m, n \in \mathbb{N}$ mit $m<n$ und $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch

$f(x)=\sqrt[n]{x^{m}}$

Es sei bekannt, dass $f$ auf $[0, \infty)$ streng monoton wachsend ist.

a) Bestimmen Sie $f([0, \infty))$.

b) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie das Bild der Umkehrfunktion $f^{-1}$ an. Berechnen Sie die Funktionsvorschrift von $f^{-1}$.

c) Begründen Sie, warum $f^{-1}$ auf $(0, \infty)$ differenzierbar ist. Bestimmen Sie $\left(f^{-1}\right)^{\prime}$.

Answer 1

y = x^m/n
die Umkehrfunktion ist
x = y^m/n  | hoch n/m
x^n/m = y
f ^-1 ( x ) = x^n/m
Der Def-Bereich dürfte [ 0 ; ∞ [ sein

Der Def-Bereich von f ist der Wertebereich von f ^-1
und umgekehrt.

D_f  = W_{f ^-1} = [ 0 : ∞ [
W_f   = D_{f ^-1} = [ 0 ; ∞ [

Comments

bei a.) wird ja nach dem Wertebereich gefragt.

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in a muss ich doch lim x->0 und lim x->unendlich bestimmen

aber wenn ich null einsetze, kommt null raus. wie kürze ich dann?

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m < n
f ( x ) = x^m/n
Umkehrfunktion
f ^-1 ( x ) = x^n/m

Wertebeispiel
m=1,n=2
f ( x ) = x^1/2  = √ x
f ^-1 ( x ) = x²

Zeichne dir bitte beide Funktionen einmal auf.
Das erste ist die Wurzel, das zweite eine Parabel.
In die Wurzel kann ich von [0 ; ∞ [ alles einsetzen
In die quadratische Funktion kann ich auch von [0 ; ∞ [ alles einsetzen.

Als Wertebereiche kommt bei beiden Funktionen auch [0 ; ∞ [  heraus.

Beide Funktionen sind monoton wachsend.
Die Ableitung von
[ f ^-1 ( x ) ] ´ = [  x^n/m ] ´ = n/m * x^n/m-1

Mehr kann ich leider nicht sagen.

mfg Georg