Monotonie, Umkehrfunktion und Differenzierbarkeit. f(x)=^n√(x^m) . f([0,∞)) =?

Question

Aufgabe:

Seien \( m, n \in \mathbb{N} \) mit \( m<n \) und \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch

\( f(x)=\sqrt[n]{x^{m}} \)

Es sei bekannt, dass \( f \) auf \( [0, \infty) \) streng monoton wachsend ist.

a) Bestimmen Sie \( f([0, \infty)) \).

b) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich sowie das Bild der Umkehrfunktion \( f^{-1} \) an. Berechnen Sie die Funktionsvorschrift von \( f^{-1} \).

c) Begründen Sie, warum \( f^{-1} \) auf \( (0, \infty) \) differenzierbar ist. Bestimmen Sie \( \left(f^{-1}\right)^{\prime} \).

Answer 1

y = x^{m/n}
die Umkehrfunktion ist
x = y^{m/n}  | hoch n/m
x^{n/m} = y
f ^{-1} ( x ) = x^{n/m}
Der Def-Bereich dürfte [ 0 ; ∞ [ sein

Der Def-Bereich von f ist der Wertebereich von f ^{-1}
und umgekehrt.

D_f  = W_{f ^{-1}} = [ 0 : ∞ [
W_f   = D_{f ^{-1}} = [ 0 ; ∞ [

Comments

bei a.) wird ja nach dem Wertebereich gefragt.

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in a muss ich doch lim x->0 und lim x->unendlich bestimmen

aber wenn ich null einsetze, kommt null raus. wie kürze ich dann?

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m < n
f ( x ) = x^{m/n}
Umkehrfunktion
f ^-1 ( x ) = x^{n/m}

Wertebeispiel
m=1,n=2
f ( x ) = x^{1/2}  = √ x
f ^-1 ( x ) = x^{2}

Zeichne dir bitte beide Funktionen einmal auf.
Das erste ist die Wurzel, das zweite eine Parabel.
In die Wurzel kann ich von [0 ; ∞ [ alles einsetzen
In die quadratische Funktion kann ich auch von [0 ; ∞ [ alles einsetzen.

Als Wertebereiche kommt bei beiden Funktionen auch [0 ; ∞ [  heraus.

Beide Funktionen sind monoton wachsend.
Die Ableitung von
[ f ^-1 ( x ) ] ´ = [  x^{n/m} ] ´ = n/m * x^{n/m-1}

Mehr kann ich leider nicht sagen.

mfg Georg