Partialbruchzerlegung

Question

Führe die Partialbruchzerlegung durch.

a) $$ \frac { { x }^{ 4 } }{ { x }^{ 2 }-4 } $$

b) $$ \frac { { x }^{ 2 }+3 }{ (x-1){ (x+1) }^{ 2 } } $$

Answer 1

ich denke hiermit soltlest Du gut weiterkommen: https://www.mathelounge.de/46741/mathe-artikel-partialbruchzerlegung

Ich komme bei a) auf:

x^4/(x^2-4) = x^2 + 4 + 4/(x-2) - 4/(x+2)

Achte darauf, bevor Du mit der eigentlichen Partialbruchzerlegung beginnst eine Polynomdivision durchzuführen, da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad (daher die x^2+4).

Bei b) komme ich auf:

(x^2+3)/((x-1)(x+1)^2) = 1/(x-1) - 2/(x+1)^2

Grüße

Comments

Bei b) komme ich auf das Gleiche wie du,
bei a) komme ich auf die gleiche Lösung wie mathef (Kommentar unterhalb deinem),
wesegen ich annehme, dass sie wohl stimmt wird und du möglicherweise das +4 bzw. -4 verwechselt hast?

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Sorry, ich komm doch auf dein Ergebnis, habe nichts gesagt ;)

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Haha sehr gut! :)

Answer 2

erst mal polynomdivision

gibt bei a)   x^2 + 4 + 16/(x^2-4)
jetzt ist x^2-4  =  (x+2)(x-2)
Also gibt es Brüche mit den Nennern (x+2) und (x-2) die addiert 16/(x^2-4) ergeben
a/(x+2) + b/(x-2)   =   16/(x^2-4)
linke Seite auf Hauptnenner bringen
[a(x-2)  +  b(x+2)] / (x+2)*(x-2)  = 16/(x^2-4)
[   (a+b)x   +   (2a-2b)  ]  /   (x+2)*(x-2)  = 16/(x^2-4)
Koeffizientenvergleich der Zähler liefert
a+b=0            und  2a-2b = 16
also a=4 und b=-4

Ergebnis   f(x)  =   x^2 + 4 +  4/(x+2) + (-4)/(x-2)