Konvergenzradius berechnen: Summe (z^n / n^2)

Question

a) Berechne den KOnvergenzradius von $$ ∑n\quad \frac { { z }^{ n } }{ { n }^{ 2 } } $$ mit dem i) Wurzelkriterium und ii) Quotientenkriterium. Zur Erinnerung: $$ \sqrt [ n ]{ a } ={ e }^{ \frac { 1 }{ n } log(a) } $$

b) Berechne den Konvergenzradius von $$ ∑n\quad \frac { { z }^{ n } }{ 1\cdot 3...(2n+1) } $$

Answer 1

Wo sind Deine Schwierigkeiten? Formliere doch konkrete Fragen.

Comments

Ja, die Frage ist berechtigt, tut mir leid.

Die Vorstellung war, dass das jemand eventuell vorrechnet, dass ich weiterkomme. Aber wenn du so fragst
z.b. bei a)

wir sollten die Aufgabe folgendermassen ausrechnen:


Wenn ich die in a) gegebenen Werte einsetze, komme ich auf

und jetzt weiss ich nicht, wie ich auf den Grenzwert kommen soll

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an ist doch nur der Faktor vor z^n.

D.h. du musst für an einfach 1/n^2 einsetzen.

Also: z hat im Radius nichts verloren.

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Achso, natürlich...

Vielen Dank, ich werde es gleich so versuchen :)

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Bitte. Gern geschehen! Hoffe, es hat nun funktioniert.

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ich habe nun folgendes Ergebnis bekommen mit beiden Kriterien:

$$ r=\frac { 1 }{ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \sqrt [ n ]{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  }  }  } =1,\quad r=\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  }{ \frac { 1 }{ { (n+1) }^{ 2 } }  } =1 } $$

Ist dies nun der Konvergenzradius oder muss ich noch etwas mit dem Vorfaktor zⁿ machen, well das n ja auch dort vorkommt?

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Nein! Das sollte so genügen. Ist ja auch beruhigend, dass 2 mal dasselbe rauskommt.

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Danke,

und wie mache ich das bei Teilaufgabe b) ?

Dort habe ich ja wieder zⁿ als Vorfaktor, aber wie kann ich denn Nenner umschreiben, sodass ich in in die Kriterien einsetzen kann? Es sieht für mich nicht aus wie eine Fakultät, da nur ungerade Zahlen vorkommen...

Answer 2

Zu b)

Dort habe ich ja wieder zⁿ als Vorfaktor, aber wie kann ich denn Nenner umschreiben, sodass ich in in die Kriterien einsetzen kann? Es sieht für mich nicht aus wie eine Fakultät, da nur ungerade Zahlen vorkommen...

Beim Quotientenkriterium schreibst du einfach die vollständigen Terme mit Pünktchen über und unter den Bruchstrich. Alle Faktoren sind grösser 0. Du kannst also kürzen und den Betrag vergessen.

Comments

Wenn ich das richtig gemacht habe, komme auf:

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2(n+1)+1) }{ 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n+1) }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n+3) }{ 1\cdot 3\cdot ...\cdot (2n+1) }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { (2n+3) }{ (2n+1) }  } \rightarrow \quad l'Hospital\quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 2 }{ 2 }  } =\frac { 2 }{ 2 } =1 $$

So sollte es stimmen, oder?

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Nicht ganz. Du hast oben eine Faktor mehr als unten.

Daher bleibt oben (2n+3) und unten 1.

Der Konvergenzradius ist daher unendlich.