Eine Ungleichung mit Betrag lösen: |x^2-2| ≤ 4-x

Question

Ich soll folgende Ungleichung mit Betrag lösen

|x^2-2|< =4-x

kann mir jemand erklären, wie man auf dieses Ergebnis komme ?

L[-3;2]

Answer 1

|x^2 - 2| ≤ 4 - x

Fall 1: x^2 - 2 >= 0 bzw. x ≤ -√2 ∨ x ≥ √2

x^2 - 2 ≤ 4 - x
-3 ≤ x ≤ 2

-3 ≤ x ≤ -√2 oder √2 ≤ x ≤ 2

Fall 2: x^2 - 2 <= 0 bzw. -√2 ≤ x ≤ √2

-(x^2 - 2) ≤ 4 - x
Immer erfüllt.

Lösungsmenge: -3 ≤ x ≤ 2 

Answer 2

|x²-2|< =4-x

Du musst zwei Fälle unterscheiden:

für x ausserhalb [-√(2)   ;  √(2) ]   kannst du den Betrag einfach weglassen und

hast du    x^2 - 2 <= 4 - x

x^2 +x  - 6 <= 0

(x+3)(x-2) <= 0

(x<=-3  und x>=2) oder (x>=-3) und (x<=2)

das erste gibt nichts also hier (x>=-3) und (x<=2) also [-3;2]

allerdings ohne den  Bereich [-√(2)   ;  √(2) ]   (Fallvoraussetzung)

2.Fall:   x  aus [-√(2)   ;  √(2) ]

dann wird x^2-2 zu 2-x^2  also hast du

2 - x^2  <=  4 - x

-x^2 + x -2 <=0  | *(-1)

x^2   +  x   +2 >= 0  Zeichen umdrehen!

(x+0,5)^2 + 7/4   >=0  gilt immer, also

ist der ganze Bereich [-√(2)   ;  √(2) ] auch in der Lösungsmenge,

und damit in der Tat alles von    L   [-3;2]