Ableitungen bilden für: y = x³√(x ³√x) und y = (x tan(x))^{n}

Question

Aufgaben:

1.) Ableitungen bilden:

a) \( y=x \sqrt[3]{x \sqrt[3]{x}} \)

x=3

b) \( y=(x \tan (x))^{n} \)

x=pi/4 ; n=3

c) \( y=\arctan \left(e^{x}\right) \)

x=ln(2)

2.) Grenzwerte untersuchen

\( \lim \left(\frac{x^{n}-1}{n(x-1)}\right) \)

Tipp: Polynomdivision?

b) \( \lim \left(\left(\sqrt{\frac{1}{x}+a}-\sqrt{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)\right) \)

Tipp: Erweitern?

Answer 1

a)

Kann umgeschrieben werden zu

f(x) = x^{13/9}

f'(x) = 13/9*x^{4/9}

f'(3) = 13/9*3^{4/9} ≈ 2,35

b)

f(x) = x^3*tan(x)^3

f'(x) = 3x^2*tan(x)^3 + x^3*(tan(x)^3)'

= 3x^2*tan(x)^3 + 3*x^3*tan(x)^2/cos(x)^2

f'(π/4) ≈ 4,76

c)

f'(x) = e^x/(e^{2x}+1)

f'(ln(2)) = 2/(4+1) = 2/5

d) und e)

Hier ist nicht klar, wogegen das strebt. Letzteres wäre beispielsweise für x→±∞ klar als √a zu erkennen^^.

Grüße

Comments

Ersteinmal danke für deine Antwort, bei d)x->1 und e)x->0+ ich hoffe das du mir mit den Angaben weiter helfen kannst:)

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Ich schaus mir daheim an. Wenn Du solange nicht warten willst, kannste gerne eine neue Frage aufmachen ;).

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Könntest du zuhause auch bitte meine Frage mal anschauen , ´keiner ist bereit mir zuhelfenhttps://www.mathelounge.de/175459/unternehmen-skaterparks-funktionsscharen-parameter-steigung
das wäre echt toll ich komm da echt nicht weiter.....

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Sodelle, zur d)

Nutze l'Hopital

lim_x->1 n*x^{n-1} / n = lim x^{n-1} = 1

e)

Richtiges Stichwort. Erweitere ;).

$$\lim_{x\to0} \sqrt{\frac1x + a} - \sqrt{\frac1x} = \lim\frac{\frac1x+a - \frac1x}{\sqrt{\frac1x+a}+\sqrt{\frac1x}}$$

$$ = \lim\frac{a}{\sqrt{\frac1x+a}+\sqrt{\frac1x}} = 0$$

Das geht gegen 0, da der Nenner gegen unendlich geht.

Klar? :)

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Gibt es eine alternative  zu l'Hopital wurde in der Vorlesung noch nicht besprochen, sollte ich dementsprechend auch nicht benutzen:)

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Sry, da müsste ich passen. Eine Alternative zu l'Hospital sehe ich nicht :/.

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könntest du mir eventuell noch genauer erklären wie du auf b) kommst? am besten ohne für x eine Zahl ein zu setzten, also ganz allgemein? Wäre super von dir:)

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Wie meinste das ohne für x eine Zahl einzusetzen?

Eigentlich ist es nur die Produktregel.

Da wäre es eigentlich nur beim zweiten Summanden interessant. Die Ableitung von tan(x)^3.

Das geht relativ einfach, wenn man tan(x) = u subst. ;).

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Sorry, ich meinte für n (3)

f'(x) = 3x²*tan(x)³ +  x³*(tan(x)³)' 

= 3x²*tan(x)³ + 3*x³*tan(x)²/cos(x)²

^{Der Teil der mir klar ist, habe ich unterstrichen, wie du auf den Rest Kommst, ist mir unklar, könntest du Schritt für Schritt erklären wie du darauf gekommen bist?}

Danke schon einmal im voraus für die Antwort:)

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Kettenregel ergibt:

(tan(x)^3)' = 3(tan(x))'*tan(x)^2 = 3*tan(x)^2/cos(x)^2

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Wenn möglich bitte in der allgemeinen Form, ohne das Einsetzten von Zahlen für x und n, würde es für mich einfacher , zu verstehen :)

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Na, in spezalisiert Form soltle es generell einfacher sein?

Zumal das so kein Problem darstellen darf, wenn man sich die Schwierigkeit Deiner Aufgaben anschaut Oo.

Probiers doch mal ;).