Kurvendiskussion mit Parameter: fa(x) = ax^3 - 5a^2 x^2 +3a^3 x + 9a^4

Question

Hallo liebe Freunde und auch Feinde der Mathematik :):

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein? Es handelt sich um eine Parameterfunktion :

f_a(x) = ax³ - 5a²x² +3a³x + 9a⁴

a) f_a hat eine Nullstelle an der Stelle x₀=-a. Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen

Hier meine bisherigen Lösungsversuche : 

- Da die Nullstelle x_{0 =} -a bekannt ist, habe ich sie einfach als x in die Ausgangsfunktion eingesetzt : 

fa(-a) = a*(-a³⁾ - 5a²*(-a²⁾ + 3a³*(-a) + 9a⁴

           ⁼-a⁴ + 5a⁴ - 3a⁴ + 9a⁴

           ⁼ 10a⁴  /4. √ gezogen 

  - 1,78 = a 

Dann setze ich die - 1, 78 in die Ausgangsfunktion für a ein, richtig =/? Dann bekomme ich eine kubische Funktion welche ich dann mit der Polynomdivision lösen kann - habe auch schon durch Probieren die nächste Nullstelle herausbekommen x₁ = 3.

Ich setze also die Ausgangsfunktion mit den neuen Werten = 0 und dividiere dann durch (x-3) ?

Das ist das momentane Problem - möchte nicht alles verkehrt rechnen weil die Aufgabe a) falsch ist.. kennt sich jemand aus?

b) Extremstellen untersuchen (Klar - Ableitungen, richtig? Parameter bleiben bestehen ansonsten wie gewohnt ableiten? - 1. Ableitung = 0 für die Extremstellen und mit der 2. Ableitung überprüfen?)

c) Wendestellen untersuchen (2. Ableitung = 0 setzen und mit der 3. Ableitung überprüfen)

d) Grenzverhalten von f_a bestimmen (Da komme ich gar nicht zurecht..meine das war irgendwas mit lim -> +oo / -oo oder so? )

e) Sei nun a > 0 :

- Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche F, die der Graph von fa und die x-Achse auf dem Intervall [-2a;2a] einschließen (Integralrechnung nehme ich an ?)

- Für welches a > 0 beträgt der Flächeninhalt von F 2992÷3 FE (Setze ich doch einfach nur ein oder? also 2992/3 FE = a>0 und umstellen? 

Vielen Dank !!! Hoffe hier lebt noch jemand =( !

Answer 1

a) Üble Konsequenz eines Rechenfehlers: Mein Freund, Nullstelle muss doch bedeuten, dass \( f_a(-a) = 0 \). Was auch rauskommt wenn du -a für x richtig einsetzt. Deine Rechnung macht an sich aber auch überhaupt kein Sinn mal abgesehen von deinem Vorzeichenfehler in der ersten Umformung

Der richtige Weg hier ist eine Polynomdivision des Terms durch (x+a) und dann per pq-Formel die restlichen Nullstellen zu berechnen

b) ja.

c) ja.

d) Grenzwertverhalten hängt in erster Line von dem Vorfaktor von x^3 (also a) ab (Stichwort Vorzeichen).

e) Ja du sollst hier

$$ \int \limits_{-2a}^{2a} f(x)  $$ berechnen.

 2992/3 FE = a>0 <- das macht gar keinen Sinn

im zweiten Teil der Aufgabe setzt du das was du fürs Integral rausbekommen hast mit der angegeben Fläche gleich und berechnest a.

Comments

Erstmal danke für die schnelle Antwort! 

Das heißt ich nehme die Ausgangsfunktion für die Polynomdivision? Dort steht ja schon alles wie ich es brauche, theoretisch. 

Das hilft mir gewaltig weiter, danke!!! :) 

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Ja genau die Ausgangsfunktion. Achte auf Vorzeichen :)