Zeigen sie durch LOGISCHE Umformung, dass f = g gilt.

Question

Wir lerne gerade etwas Mengenlehre. Nun habe ich eine Aufgabe gefunden, die es wirklich in sich hat und ich absolut keine Idee habe wie ich das angehen soll.


Die Aufgabe:

Seien X eine Menge, sowie


f  : Ρ(X) × P(X) → P(X), f(A,B)  := { x ∈ X | x ∈ A ⇔ x ∈ B } ,
g : Ρ(X) × P(X) → P(X), g(A,B) := (A ∩ B) ∪ ((¬A) ∩ (¬B)) .

Zeigen Sie durch logische Umformungen, dass f = g gilt. Das Komplement ist bezüglich X zu verstehen.

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Später werde ich Aufgaben dieser Art beweisen müssen und ich frage mich wie das bei dieser Aufgabe aussehen könnte.
Wäre Euch wirklich sehr dankbar für Vorschläge, einen Tipp zum beweisen oder irgendetwas. :)

Danke für eure Aufmerksamkeit. :)

Answer 1

vermutlich kennst du das Auflösen von " p äquivalent zu q " zu (nicht p v q ) ^ ( p v nicht q)

Auf f(A,B) angewandt heißt das  unter Beachtung der Vorgabe x aus X in der Menge:
Ich lass mal die Klammern um die Elementaussagen weg.

( x  ∈ X )  ^       [   (  x ∉ A   v   x ∈ B)      ^   ( x ∈  A   v   x ∉  B)   ]    wegen   a ^ a = a
 ( ( x  ∈ X )  ^  ( x  ∈ X ))  ^  [   (x ∉ A   v   x ∈ B)    ^   ( x ∈  A   v   x ∉  B)   ]    assoziativ von ^
[( x  ∈ X )  ^   (  x ∉ A   v   x ∈ B)     ]     ^     ( x  ∈ X )  ^ ( x ∈  A   v  x ∉  B)
dann distributiv: 2 mal anwenden
[( x  ∈ X )  ^ (  x ∉ A ))  v  ( ( x  ∈ X )  ^ (x ∈ B)   ] ^  [ ( x  ∈ X )  ^  ( x ∈  A) v ( x  ∈ X )  ^ (  x ∉  B) ]
   (  ( x  ∈ X\ A )        v         x  ∈ B)       )     ^        (     ( x ∈  A)           v             ( x aus X \ B) ) 
wieder distr.
  [ ( x  ∈ X\ A )      v   ( x  ∈ B)     )     ^     ( x ∈  A) ]      v     [ ( x  ∈ X\ A )   v    ( x  ∈ B)       )    ^  ( x ∈ X \ B)
wieder dist.
  [ ( x  ∈ X\ A )  ^ ( x ∈  A)   v ( x  ∈ B)     )  ^ ( x ∈  A)  v   ( x  ∈ X\ A ) ^  ( x ∈ X \ B)  v  ( x  ∈ B)  ^  ( x ∈ X \ B)
Die ersten beiden Aussagen widersprechen sich, also f
                    f                   v                 x  ∈ B∩A           v    (( x  ∈ X\ A ) ^  ( x ∈ X \ B) )  v       f
nun ist ja f v p = p, also 
                        x  ∈ B∩A           v    (( x  ∈ X\ A ) ^  ( x ∈ X \ B) )
                                                         x ∈   (A ∩ B) ∪ ((¬A) ∩ (¬B)) .
                                                                                                                q.e.d.