Frage zu rekursiv definierten Folgen

Question

Seien a, b ∈ R mit 0 < b ≤ a. Zeigen Sie,

dass die durch a₀ := a, b₀ := b, und a_n+1 := (a_n + b_n) / 2     ,              bn+1 :=√a_nb_n

rekursiv definierten Folgen (a_n)_n∈Nound (b_n)_n∈No konvergieren, und zwar gegen denselben Grenzwert α ∈ R.

Habe dann beide folgen nach an umgestellt und folgendes bekommen:

(1) a_n = 2a_n+1 -b_n

(2) a_n = (b_n+1)² /b_n 

für (1) lim n→∞ gilt dann 2a -b und da b ≤ a geht die folge gegen unendlich?! sowie für (2) lim n→∞ b²/b = b auch gegen unendlich?

Comments

Da aber a≥b kann die folge a_n+1 =(a_n+b_n) /2 ja höchstens gegen a konvergieren deswegen muss an meiner überlegung ja was falsch sein :D.

Reicht denn einfach zu zeigen:

a_n+1=(a_n+b_n )/2 und da a≥b gilt für lim n-->∞ a_n-->a sowie für b_n+1 = √a_nb_n gilt da a≥b für lim n-->∞ √a^2 = b_n-->a

?

Answer 1

Steht alles bei Wikipedia unter Arithmetisch-geometrisches_Mittel.

Man kann es auch online nachrechnen unter http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm

Beispiel 1

um Zwischenwerte anzuzeigen, einfach aB[i] = a;aC[i]=b;

in die Iterationsformel hinzufügen.

AGM(a,b) konvergiert extrem gut: mit quadratischer Konvergenz.  

Funktioniert auch mit komplexen Zahlen.