Extremwertaufgabe: Gleichschenkliges Dreieck mit einbeschriebenem Dreieck

Question

Einem  gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinienlänge a und der Höhe h wird ein gleichschenkeliges Dreieck eingeschrieben, dessen Spitze in der Mitte der Grundlinie liegt. Wie groß ist seine Höhe zu wählen, damit sein Flächeninhalt maximal wird?

Comments

Das ist eine Extremwertaufgabe und es fehlen noch Angaben.

Answer 1

Hi,

 

x: die Grundseite des einbeschriebenen Dreiecks

y=?: die Höhe des einbeschriebenen Dreiecks:

 

Zielfunktion: A(x,y)=1/2*x*y

Nebenbedingung: a/x=h/(h-y)  -> ah-ay=hx -> x=(ah-ay)/h=a-(ay)/h

 

A(x,y)=1/2*x*y -> A(y)=1/2*(a-(ay)/h)*y=1/2*(ay-(ay²)/h)

 

A'(x,y) muss ja nun Null ergeben:

A'(y)=1/2*(a-(2ay)/y)=0 -> (ah-2ay)/h=0 -> ah-2ay=0  -> y=(ah)/(2a) -> y=h/2

 

Man muss die Grundseite des einbeschriebenen Dreiecks so einzeichnen, dass die alte Höhe h halbiert wird ;).

 

Und etwas Paintkünste:

Comments

Noch als Kommentar: Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz. Hatte ich vergessen zu erwähnen ;).