Folgenbeweis mittels Induktion

Question

Sei q ∈ℝ mit 0 < q < 1 und (a_n)_n∈ℕo   ⊆ℝ eine Folge mit 

|a_n+1 -a_n| = qⁿ * | a_n-a_n-1|                       für alle n ∈ℕ

Zeigen sie:

|a_n+k - a_n| ≤ (q^n /(1-q)) *|a₁-a₀|             für alle n,k ∈ ℕ

Answer 1

Hi,
da braucht man keine Induktion. Außerdem heisst die Voraussetzung in der Aufgabenstellung bestimmt
$$ (1)\quad\left| a_{n+1}-a_n \right|=q\left| a_n-a_{n-1} \right|  $$

Es gilt
$$ \left| a_{n+k}-a_n \right|=\left| \sum_{i=0}^{k-1} \left( a_{n+i+1}-a_{n+i} \right)  \right| $$
Wegen der Dreiecksungleichung
$$  \le \sum_{i=0}^{k-1} \left| a_{n+i+1}-a_{n+i} \right| $$
Wegen der Voraussetzung (1)
$$ =\sum_{i=0}^{k-1} q^{n+i}\left| a_1-a_0 \right|=\frac{q^n}{1-q}\left| a_1-a_0 \right|   $$