Erzeugendensystem, Mengen M im V=R^4. M = { (1,0,1,1) , (12,2,6,1) , (0,0,1,2) }

Question

Ich habe folgende Aufgabe zum Thema "Erzeugendensystem, Basen, linear (un-)abhängig"

Habe mir schon verschiedene Definitionen und Erklärungen angeguckt, aber richtig klar wird mir das ganze immer noch nicht. Ich hatte noch keinen "aha!" Moment.

Habe z.B. bei (a) folgende Menge M gegeben:

M = \( \left\{ \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 12\\2\\6\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\2 \end{pmatrix} \right\} \)

Ich soll sagen, ob die Vektoren 1) linear unabhängig sind, 2) ob die Menge M ein Erezugendensystem von V ist und 3) ob die Menge M eine Basis von V ist.

Dies ist eine Menge von Vektoren in V=ℝ⁴

Nach etwas tüfteln denke ich, dass die Vektoren linear abhängig sind, aber mir fehlt eine Begründung.

Könnte mir anhand dieser Aufgabe jemand erklären was mit Erzeugendensystem und Basis gemeint ist und wie ich das erkenne bzw. herausfinden kann ?

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aus Duplikat:

2) M = { (2,0,1,1) , ( 1,1,1,1) , (0,0,1,-3) , (0,0,0,2) }

3) M = { (1,1,0,1) , (2,5,2,1) , (3,3,0,1) , (2,8,4,2) }

Für welche dieser Mengen sind die Vektoren aus M linear unabhängig?

Welche Mengen M sind ein Erzeugendensystem von V und welche eine Basis von V?

Comments

Weitere Diskussion zu deiner Aufgabe derzeit auch hier: https://www.mathelounge.de/183284/mengen-von-vektoren-in-v-r-4-m-1-1-1-12-6-1-0-0-1-2-linear-unabhangig

Answer 1

lin unabh:   Du machst  für deine 3 Vektoren v1  v2   v3
den Ansatz
                        a*v1 + b*v2 + c*v3 = Nullvektor (also hier der mit 4 Nullen)
Dann machst du aus jeder Zeile eine Gleichung und hast also ein Gl-system mit
4 Gl'en und drei Variablen.

Löse es auf und schau ob nur mit allen drei Variablen gleich Null eine
Lösung existiert (dann sind sie lin. unab) oder ob es auch andere gibt, dann sind die
Vektoren lin. abh.

Basis ist es nicht, ich hänge dir mal was an, was ich auf eine ähnliche Frage geschrieben hab:

und mit deinen drei vektoren kannst du nicht alles von IR^4 erzeugen.


 Was ist Erzeugnis? Beispiel

Wenn du einige Vektoren hast etwa  (1;1)  und (2;0 )   und  (1;3)

dann kannst du ja davon Liearkombinationen bilden z.B.

5*(1;1)  +2* (2;0 )   + 1*(1;2) = (10 ; 7) oder allgemein

a1*(1;1)  +a2* (2;0 )   + a3*(1;2)  mit irgenwelchen a1,a2,a3 aus IR.

Alles was man so "erzeugen" kann (also was an Stelle von (10;7) herauskommt)

bildet einen Vektorraum U.

Dieser Vektorraum ist das Erzeugnis

(bzw. der linearen Hülle das ist synonym) der drei gegebenen Vektoren.

Und die drei gegebenen Vektoren sind dann ein Erzeugendensystem für diesen

Vektorraum.
In unserem Beispiel kann man aber etwa den Vektor (10;7) nicht nur so erzeugen
wie oben, sondern auch mit anderen Zahlen vor den drei Vektoren,
z.B.    10*(1;1)  +(0,75)* (2;0 )   + (-1,5)*(1;2) = (10 ; 7)

Das liegt daran, dass die drei Vektoren linear abhängig sind
(Kannst du ja mal nachrechnen !)
Und wenn ein Erzeugendensystem aus linear abhängigen Vektoren besteht ist
das immer so. Wenn man das nicht möchte kann man immer einen (oder mehrere)
finden, die man weglassen kann , dass sie restlichen Vektoren linear
unabhängig sind, aber trotzdem noch die gleichen Vektoren erzeugen
wie vorher.
Ein solches Erz.syst. aus linear unabhängigen Vektoren heißt Basis des Vektorrauems,
mit ihr lassen sich alle Vektoren in EINDEUTIGER Weise erzeugen.

Comments

danke für deine schnelle Antwort. Habe leider erst jetzt Zeit gefunden mich weiter mit der Aufgabe zu befassen.

"Löse es auf und schau ob nur mit allen drei Variablen gleich Null eine Lösung existiert (...)  oder ob es auch andere gibt, dann sind die Vektoren lin. abh. "

-> Wenn ich alle Variablen (a,b,c) gleich 0 setzte, dann ist doch klar, dass da der Nullvektor rauskommt. Wie sollte ich auch etwas anderes als Ergebnis erhalten ?Oder habe ich dich missverstanden ?

Wenn ich mir mit meinen 3 Vektoren + dem Nullvektor eine Matrix bilde und auflöse, erhalten ich eine eine Nullzeile. In der Schule wurde gesagt das LGS hat unendlich viele Lösungen. Ich habe in irgendeinem Forum gelesen, dass mir so eine Nullzeile auch etwas über die lineare (Un-)Abhängigkeit sagen soll ?!

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Habe mich noch mal an der Aufgabe versucht:
Die Vektoren sind linear unabhängig, da a=b=c=0, die einzige Lösung ist.
Da die Vektoren linear unabhängig sind, ist die Menge M eine Basis und damit auch Erzeugendensystem von V ?

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So ist es. Eine Basis ist immer ein lin.unabh. Erz.syst.

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Ok, verstanden.

Danke für deine Hilfe !

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Hab doch noch eine kleine Frage:

Ich hab eine Menge M mit vier Vektoren aus V=R^4.

Wir haben in der Vorlesung definiert, dass die Vektoren linear unabhängig sind, wenn die Determinante ≠ 0 ist.

Bei einer anderen Menge mit vier Vektoren habe ich die Determinante ausgerechnet, die ist 4. Weil 4 ≠ 0, sind die Vektoren linear unabhängig -> Basis von V + Erzeugendensystem von V

Bei meinen nächsten vier Vektoren ist die Determinante = 0. Kann ich dann sagen, da die Vektoren linear abhängig sind, ist die Menge weder Basis noch Erzeugendensystem von V ?

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Das erste war richtig.

imzweiten Fall weisst du nur: Es ist keine Basis.

Erz.syst. ist es natürlich, denn du sollst ja den VR betrachten, den die 4 erzeugen,

also musst du versuchen einen von den 4en durch die anderen darzustellen.

Das muss ja gehen, da sie lin abh, sind.

Diesen kannst du dann weglassen und hast jetzt nur drei

Erzeugende und musst schauen, ob die lin. unabh. sind.

Geht bei 2 aus IR4 leider nicht mit det.

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Also hab jetzt rausgefunden, dass sich ein Vektor mit Hilfe der restlichen 3 darstellen lässt, also linear abhängig ist. Dann hab ich die anderen 3 überprüft. Die restlichen 3 scheinen aber linear unabhängig zu sein.

Was sagt mir das jetzt ?

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Ich hab noch einen Blick auf die Aufgabenstellung geworfen, dort steht:

Welche der Mengen M sind ein Erzeugendensystem von V, und welche eine Basis von V ?

Das heißt, wenn ich festgestellt habe, dass die Vektoren linear abhängig sind, weil sich ein Vektor als Linearkombination der anderen 3 darstellen lässt, kann die Menge keine Basis sein.

Aber die Menge ist ein Erzeugendensystem, weil span_lK{v1, v2, v3,v4} = V

Richtig?

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wieso sind die vektoren linear abhängig?

betrachtet man die zweite Zeile der Vektoren, so erhält man doch 2xλ₂=0 und somit such für λ₂=0. setzt man das in die übrigen gleichungen ein, so erhält man für λ₁=λ₂=λ₃=λ₄=0 und die Vektoren sind somit linear unabhängig oder nicht?

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Das lambda2 muss null sein, aber die anderen nicht.

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Also hab jetzt rausgefunden, dass sich ein Vektor mit Hilfe der restlichen 3 darstellen lässt, also linear abhängig ist. Dann hab ich die anderen 3 überprüft. Die restlichen 3 scheinen aber linear unabhängig zu sein.

Was sagt mir das jetzt ?Das sagt dir, dass die anderen 3 eine Basis für das Erzeugnis der 4 Vektoren bilden.

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ich hab vorgegebene Vektoren. Vier Stück mit jeweils vier Einträgen

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Eben, aber diese 4 erzeugen nur einen 3-dim-Unterraum von IR^4 ,

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Das sagt dir, dass die anderen 3 eine Basis für das Erzeugnis der 4 Vektoren bilden.

Aber keine Basis von V, oder?

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Wenn v=IR^4 ist nicht, ich dachte V sei das Erzeugnis der 4 Vektoren.

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Die Mengen mit Vektoren sind in V=R^4

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also ist das keine Basis von V sondern von dem Erzeugnis der 4 Vektoren.

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hab noch eine Frage zu der Aufgabe: können 3 linear unabhängige Vektoren in IR^4 eine Basis bilden? Sollen es nicht 4 Vektoren sein, weil wir Dimension 4 haben?

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Ich glaube, dann muss man einen vierten Vektor hinzufügen.

Ich hatte auch so eine Aufgabe, wo ich Vektoren zu einer Basis ergänzen sollte.

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Genau, das müssen immer 4 sein und es gibt sogar den Satz:

3 lin. unabh. Vektoren von R^4 lassen sich immer zu einer Basis ergänzen.

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Jetzt ist mir grad beim schreiben aufgefallen, dass meine 3 Vektoren, aus meiner eigentlich Frage, zwar ein Erzeugendensystem bilden, aber keine Basis, wie fälschlich angenommen. Weil es ja nur 3 Vektoren im ℝ⁴ sind.

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Noch ein Gedanke: Die Vektoren sind linear unabhängig (a=b=c=0, a,b,c ∈ℝ), erzeugen KEIN Erzeugendensystem und sind auch KEINE Basis von ℝ⁴.

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Die Vektoren sind linear unabhängig (a=b=c=0, a,b,c ∈ℝ),

erzeugen aber das Erzeugnis dieser 3 Vektoren,

und sind davon auch eine Basis.

aber  KEINE Basis von ℝ⁴.

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Meine Aufgabenstellung bezieht sich aber komplett auf V=ℝ⁴.

Also welche Mengen ein Erzeugendensystem / eine Basis von V sind.

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also sind sie weder ein Erz.system VON IR^4 noch eine Basis davon

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Genau, dass war auch mein Gedanke eben.

Ich glaube ich habs jetzt noch etwas besser verstanden.

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Hi, wie erkennt man das die Vektoren kein Erz.system sind? bzw. wie prüfe ich das nach?

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ein Erz.syt. hat immer mindestens soviele Vektoren wie eine Basis.

Da eine Basis von IR^4 immer 4 Vektoren hat, kann es kein Erz.syst.

mit weniger als 4 geben.

Du kannst auch so argumentieren:

versuche durch x*x1 + y*x2 + z*x3 = (a,b,c,d)

mit den drei x-Vektoren und geeigneten x,y,z jeden beliebigen

Vektor (a,b,c,d) zu erhalten. Du bekommst 4 gleichungen mit den Variablen

x,y,z und den Parametern a,b,c,d . und du wirst sehen.

Es gibt nicht für jede Kombination a,b,c,d eine Lösung, weil du z.B. auf eine Gleichung

der Art   (a+b)*x = 3c

(oder sowas, ich hab das nicht gerechnet, weil es recht länglich ist. )

stoßen wirst, und die ist für a+b=0 und c ungleich Null

nicht lösbar. Also kannst du keine Vektoren a,b,c,d mit a+b=0 und c ungleich Null

erzeugen.

Answer 2

1. Schreibe die Vektoren jeweils als Spalten in eine Matrix und bestimme den Rang dieser Matrix. Falls der Rang gleich der Dimension V dann liegt ein Erzeugendensystem (EZS) vor.

2. Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind. Dazu guckst Du Dir wieder den Rang an. Bei vollem Rang liegt lineare Unabhängigkeit vor. Dann ist das EZS auch Basis.

zu 1. der Rang der Matrix ist 3, die Dimension V ist 4, also kein EZS und auch keine Basis

zu 2. Der Rang der Matrix ist 4, also EZS. Der Rang ist voll, also Basis

zu3. Der Rang ist 3, also kein EZS und damit keine Basis

Comments

Könntest du mir eine Probe rechnen ? Aber bis hierhin schomal vielen Dank

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Da ist gar nicht so viel mit Rechnen, sondern es geht eher ums scharf hingucken. Wie gesagt geht es in Deiner Aufgabe darum die Vektoren in eine Matrix zu schreiben und dann deren Rang zu prüfen. Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Spalten- oder Zeilenvektoren. Um nun schnell zu erkennen, ob Vektoren zueinander linear unabhängig sind, achtest Du zuerst darauf, ob die Vektoren an verschiedenen Positionen Nullen haben. Ist dies der Fall ist Lineare unabhängigkeit gegeben. Ansonsten sind auch verschiedene Vorzeichen unter Umständen ein gutes Indiz für lin. unabhängigkeit.

Rechnerisch prüfst Du Lineare Unabhängigkeit in dem Du, wie bei Gauß, die Matrix versuchst in Stufenform zu bringen. gelingt Dies, hast Du vollen Rang, also alle Vektoren sind linear unabhängig. Ansonsten ist der Rang gleich der Anzahl der so erstellten "Stufen".

Zu Deiner Aufgabe. Der R⁴ hat die Dimension 4. Du benötigst also wenigstens 4 lin.unabh. Vektoren für ein EZS. Also eine Matrix vom Rang mindestens 4. Für eine Basis benötigst Du eine Matrix vom Rang exakt 4. Da in allen Aufgaben eh nur max. 4 Vektoren gegeben sind, können alle Matrizen höchstens vom Rang vier sein. Damit ist die Prüfung auf EZS gleichzeitig eine Prüfung auf Basis.

zu 1. Es sind drei Vektoren gegeben. Die Matrix kann also höchstens den Rang 3 haben, da brauchst Du gar nicht weiter Rechnen. Der Rang ist kleiner als die Dimension des Vektorraumes, daher kein EZS und also auch keine Basis.

zu2. Hier sind 4 Vektoren gegeben. Sind die lin. abhängig? Schau auf die Nullen. der vierte hat 3 Nullen, der dritte 2, der erste eine und der zweite gar keine. klassischer Fall von Lin.Unabhängig (schreib sonst mal die Matix auf und vertausche dann geeignet Spalten und Zeilen, dann siehst Du schnell die saubere Stufen form). Also Rang = 4, daher EZS UND Basis

zu 3. Hier sind zwar auch nullen in den Vektoren, aber erstens nur in Zwei Vektoren und zweitens dort auch noch auf der selben Position. Hier lässt die lin. unhabhängigkeit nicht so einfach sehen. Also versuchen wir die Matrix in Stufenform zu bringen. Schau Dir dazu das Bild unten an....

Wenn Du jetzt noch Fragen hast, dann sage bitte genau, wo Dein Problem liegt...

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Jetzt aber :)