Lineares Gleichungssystem. Lösungsmenge? 2x + 3y - z= 0, -4x - 6y + 2z = 0.

Question

(a) Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:

\( \begin{array}{r} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ -4 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}=0 \end{array} \)

(i) Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R}^{3} \), die dieses Gleichungsystem lösen. Geben Sie explizit die Lösungsmenge \( L \) an.

(ii) Die Lösungsmenge \( L \) eines homogenen linearen Gleichungssystems kann auch als Untervektorraum des \( x \in \mathbb{R}^{3} \) aufgefasst werden. Geben Sie für diesen Untervektorraum eine Basis an.

(iii) Ermitteln Sie die Dimension von \( L \).

(b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( x \in \mathbb{R} \) den Kern der Matrix

\( A=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 2 & -6 & 8 \\ 3 & 3 & -9 & 8 \\ 1 & 1 & x & 4 \end{array}\right] \)

Comments

(b) vgl. hier: https://www.mathelounge.de/182867/untervektorraum-kern-der-matrix

Answer 1

Hier mal eine Antwort zu (i) und (ii)

(i)

2x + 3y - z= 0,    (I)

-4x - 6y + 2z = 0.   (II) 

2x + 3y - z= 0,    (I)

0 = 0.   (II) + 2*(I)

Die beiden Gleichungen beschreiben die gleiche Punktmenge. Sie beschreiben daher gleich die Lösungsmenge.

L = { (x,y,z) | 2x + 3y - z= 0}       Das ist eine Ebene im R^3.

(ii) Basis bestimmen: 2 linear unah. Vektoren aus der Gleichung ablesen:

a = (1,0,2) , b=(0, 1, 3).

(iii) Die Dimension von L ist 2, da Ebenen die Dimension 2 haben.

Comments

Bei Teil (i) kann ich dir noch super folgen, aber bei (ii) und (iii) fällt es mir schwer...könntest du da nochmal genauer drauf eingehen...wäre super,weil ich mich damit wirklich sehr schwer tue.

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zu (ii) Setze mal meine Vektoren a und b in der Gleichung

2x + 3y - z= 0

ein. Das sollte so stimmen. Man kann a und b erraten. Da die Nullen an unterschiedlichen Stellen, sind a und b lin. unabh. 

zu (iii) weiss ich nicht mehr. 

Du kannst auch mit dem Rang der Matrix argumentieren. Der ist 1. Daher hat die Lösungsmenge die Dimension 3 -1 = 2.