Ich habe die Lösungsmenge eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bestimmt:
\( =\left\{\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{1}\left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda_{2}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \mid \lambda_{1-2} \in R\right\} \)
Nun möchte ich folgende Fragen beantworten:
Ist sie ein affiner Teilraum von R^4?
Ist sie ein Untervektorraum von R^4?
Beides habe ich mit ja beantwortet, ist das korrekt?
So bin ich vorgegangen:
1. Ein affiner Teilraum hat die Form v + U (also Vektor + Untervektorraum).
2. Ich muss also zeigen, dass die beiden letzten Vektoren in der Lösungsmenge einen UVR bilden.
Dazu muss gelten:
- wenn u und v Element U, dann ist auch u + v Element U,
- wenn wenn u Element U, dann liegt auch s * U in U,
- und U enthält den Nullvektor.
3. Die Addition von Vektoren und die skalare Multiplikation führen nicht aus U heraus. Der Nullvektor lässt sich durch skalare Multiplikation mit der 0 erreichen.
4. Daher ist die Lösungsmenge ein affiner Teilraum von R^4! (Mit der Dimension = 2 ???)
5. Die drei Forderungen zum UVR lassen sich auch mit allen drei Vektoren der Lösungsmenge erfüllen. Also handelt es sich bei ihr auch um einen UVR von R^4.
Gerade bei der Frage, ob {0} ein Element ist bin ich mir nicht sicher. Das ist ja nur durch eine triviale Kombination mit Lamda = 0 zu erreichten. Also ist das nicht linear abhängig.
