Könntet ihr mir bei den folgenden Integralen die einzelnen Schritte erklären, wenn möglich so, dass es auch jemand ohne große Vorkenntnisse versteht?
Aufgabe 1:
\( \int \limits_{0}^{1} \frac{9 x^{2}}{\left(1+x^{3}\right)^{7}} d x \)
Rechenweg:
zuerst setze die 9 als Konstante vor das Intergal, substituiere dann
\( \begin{array}{l} z=x^{3}+1 \\ \frac{d z}{d x}=3 x^{2} \end{array} \)
\( d x=\frac{d z}{3 x^{2}} \)
eingesetzt in den Integranden:
\( \begin{array}{l} =3 \int \frac{1}{z^{7}} d z \\ =\frac{-1}{2 z^{6}}+C \\ =-\frac{1}{2\left(1+x^{3}\right)^{6}}+C \end{array} \)
Wert: \( 0.4922 \)
Hier bräuchte ich eine Schritt für Schritt Erklärung inklusive wie ich auf den Wert komme.
Aufgabe 2:
\( \int \limits_{0}^{2} \frac{(x+1)^{3}}{\sqrt{x}} d x \)
Rechenweg:
\( \begin{array}{l} z=\sqrt{x} \\ \frac{d z}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ d x=2 \sqrt{x} d z \end{array} \)
eingesetzt:
\( =2 \int(x+1)^{3} d z \)
\( \sqrt{x} \) kürzt sich heraus.
\( \begin{array}{l} x=z^{2} \\ =2 \int\left(z^{2}+1\right)^{3} d z \\ =2 \int\left(z^{6}+3 z^{4}+3 z^{2}+1\right) d z \\ =\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}+\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 x^{\frac{3}{2}}+2 \sqrt{x}+C \end{array} \)
Wert: \( 18.506 \)
Aufgabe 3:
\( \int \frac{1}{\sin ^{2}(x) \cos ^{2}(x)} d x \)
Rechenweg:
\( \rightarrow \int \frac{\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x) \cdot \cos ^{2}(x)} d x \)
\( =\int \frac{1}{\cos ^{2}(x)} d x+\int \frac{1}{\sin ^{2}(x)} d x \)
\( =\tan (x)-\cot (x)+C \)
