Schnitt und Summe im Vektorraum

Question

Sei V ein Vektorraum und (v_i∈I) eine Basis von V. Seien J₁ , J₂ ⊂ I mit J₁ ∪ J₂ = I und J₁ ∩ J₂ = ∅ .

Setzte U1 = Lin((v_j)_j∈J1 ) und U2 = Lin((v_j)_j∈J2) . Zeigen Sie:

a)  U₁ + U₂ = V

b) U₁ ∩ U₂ = {0}

Answer 1

Sei V ein Vektorraum und (v_i∈I) eine Basis von V. Seien J₁ , J₂ ⊂ I mit J₁ ∪ J₂ = I und J₁ ∩ J₂ = ∅ .

Setzte U1 = Lin((v_j)_j∈J1 ) und U2 = Lin((v_j)_j∈J2) . Zeigen Sie:

a)  U₁ + U₂ = V

U₁ + U₂  Teilmenge von V ist klar, da die Erzeugenden von U1 und von U2 alle in V sind.

umgekehrt v aus V, dann kann v als Linlomb. der Basisvektoren vi dargestellt werden,

diese ordne so, dass erst alle kommen, deren Index aus J1 ist und

dann alle mit Index aus J2, dann bildet die Lin.komb der ersten ein

u1 aus U1 und die der zweiten ein u2 aus U2 und deren Summe ist das V, also

lässt sich jedes v als Summe eines u1 und eines u2 darstellen.

b) U₁ ∩ U₂ = {0}

Da J₁ ∩ J₂ = ∅ .haben die Basen von U1 und U2 kein gemeinsames Element.

wäre ein v aus U₁ ∩ U₂   ungleich Null, so lässt es sich mit der Basis von V darstellen, mit

mindestens einem Koeffizienten ungleich Null, etwa xi.

Dann ist dieses i also sowohl in J1 als auch in J2 im Widerspruch zu J₁ ∩ J₂ = ∅.

Umgekehrt ist = in jedem Unterraum, also auch in U₁ ∩ U₂