Parameter in der Diskriminante

Question

Bestimmen Sie die Werte des Parameters k ∈ ℝ \ {0}, für die die Gleichungen zwei, genau eine bzw. keine Lösungen haben:

4x² + 3kx - k² = 0

Ich verstehe da wirklich nicht was ich machen soll. Könnt Ihr mir bitte helfen?

Ich habe es mal probiert aber bin nicht wirklich weit gekommen.

Answer 1

Hi,

einfach in die Mitternachtsformel einsetzen und die Wurzel anschauen.

$$\frac{-3k\pm\sqrt{9k^2-4\cdot4\cdot(-k^2)}}{8}$$

Anschauen der Diskriminante:

$$9k^2+16k^2 = 25k^2$$

Für k = 0 haben wir nur eine Lösung, da die Wurzel einfach wegfällt und das doppelte Vorzeichen nicht zum Tragen kommt (Was aber gar nicht im Definitionsbereich liegt). Ansonsten haben wir immer zwei Lösungen, da es keinen Fall gibt, wo der Radikand negativ wird (wegen dem Quadrat).

Grüße

Answer 2

\(f(x)=4x^2+ 3kx - k^2 \)     mit \(k≠0\)

\(4x^2+ 3kx - k^2 = 0\)  Auflösen nach \(k\):

\(  k^2-3kx = 4x^2\)

\(  (k-1,5x)^2 = 4x^2+2,25x^2=6,25x^2  |±\sqrt{~~} \)

1.)

\( k-1,5x = 2,5x \)

\( k_1=4x \)

2.)

\( k-1,5x = -2,5x \)

\( k_2 =-x\)

1 . Nullstelle bei  \( x=\frac{k}{4}  \)

2 . Nullstelle bei \( x=-k \)

Bei \(k_1=k_2\)      →    \(4x=-x\)             \(x=0\)   ist auch \(k=0\)

Die doppelte Nullstelle ist bei \(k=0\) Das ist aber unverständlich nicht im Definitionsbereich.

Es gibt keinen Bereich ohne Nullstellen.

Answer 3

Kurzform ohne Rechnen:

Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat wegen \(-k^2<0\) für \(k\neq 0\) den \(y\)-Achsenabschnitt unterhalb der \(x\)-Achse. Daher muss auch der Scheitelpunkt für jedes \(k\neq 0\) unterhalb der \(x\)-Achse liegen. Liegt der Scheitelpunkt unterhalb der \(x\)-Achse und ist die Parabel nach oben geöffnet, so muss es immer zwei Nullstellen geben.

Comments

\(-k^2>0\)

Oder \(-k^2<0\) ?

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Tippfehler, danke. Ist korrigiert. :)