Funktion integrieren: ∫ z^{-n} dz. Wie komme ich auf die 1-n?

Question

Ich bräuchte eine kleine Erklärung für folgende Integration:

\( -\int z^{-n} d z \)

\( =\frac{z^{1-n}}{1-n}+c \)

Wie komme ich auf die 1-n?

Answer 1

bei der Integration erhöht sich doch der Exponent um 1. Deswegen kommt da 1-n in den Exponenten. Zudem kommt der neue Exponent in den Nenner.

Bei Dir fehlt da allerdings noch das Minuszeichen ;).

Grüße

Comments

Theoretisch könnte man doch aber auch einfach -n+1 schreiben, oder? Läuft doch aufs selbe hinaus.

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Das ist richtig :).

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Ich hätte noch eine kleine Frage zu einer andern Aufgabe, ich hoffe du kannst mir auch hierbei weiterhelfen:)

Zum einen, wie komme ich auf die Rot eingekreisten Schritte und zum anderen, wo ist bei der Zusammenfassung das b/c^2 "hin".

Gruß

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Zu den roten Kreisen: Beachte, dass beim Integrieren noch sozusagen die innere Ableitung miteingerechnet werden muss. Deswegen steht da nicht mehr b^2 sondern b ;).

Auf den letzten Schritt: Hier wurde beim großen Nenner alles auf einen Bruchstrich geschrieben:

1 + b^2/c^2 = (c^2+b^2)/c^2

Und dann das c^2 (mittels Umkehrbruch) in den Zähler multipliziert ;).

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Ich habe jetzt noch einmal versucht alles nach zu vollziehen und nach zu rechnen, aber ich komme einfach nicht auf b/c^2 , der Rest ist mir jetzt klar. Könntest du den Teil auschreiben? Wäre super lieb:)

Gruß

Isabelle

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Direkt in der drittletzten Zeile? Es ist doch ∫cos(bx) = 1/b[sin(bx)]

Das b nun nur noch verrechnen ;). Da wird aus b^2/c^2 nun b/c^2

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Wäre das der Zwischenschritt?

\( 1+\frac{b^{2}}{c^{2}} \int e^{-c x} \cos (b x) d x=\frac{b^{2}}{c^{2}}-\frac{e^{-c x}}{c} * \cos (b x)+\frac{b}{c^{2}} * e^{-c x} \cdot \sin (b x)-\frac{b^{2}}{c^{2}} * e^{-c x} \cdot \sin (b x) \)

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Nope,

Du musst das mit part. Integration machen. Währe f = cos(bx) und g'(x) = e^{-cx}.

Das (1+b^2/c^2) kannst Du, da konstant, erstmal außen vorlassen und alles rechnen. Erst am Ende dann einarbeiten ;).

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Ich glaube ich habe es verstanden(bzw. ich hoffe es:) Wenn ich b^2/c^2*integral e^{-cx} auf der rechten Seite addiere kürzt sich das -b^2/c^2*integral e^{-cx} doch einfach weg, oder?:D

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Ich weiß jetzt nicht genau wo Du bist. Aber das was Du sagst ist richtig^^.

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Ich habe versucht es mal mit Farbe zu unterlegen, wenn ich das Rote addiere bleibt nur noch das Grüne übrig oder? Dann brauche ich doch gar keine innere Ableitung zu betrachten, wie du davor geschrieben hast ?

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Ach soweit hatte ich das gar nicht angeschaut. Hatte mich vorher nur auf den unteren Teil konzentriert^^.

Ja das ist richtig. Dabei kannst Du das ganze Integral mal als x auffassen. Dann steht doch da

x = ... - b^2/c^2 * x   |+b^2/c^2 * x

x + b^2/c^2 * x = ...

x * (1 + b^2/c^2) = ...