Lösungsmenge eines Gleichungssystem durch Pivotalgorithmus bestimmen

Question

w - 2x + 4y - 8z = 42

w - 3x + 5y + 8z = 50

2(w+x) + 3 (y+z) = 90

||(w, x, y, z)^T|| =100

hier soll die Lösungsmenge bestimmt werden.

Ich würde die ersten drei gleichungen pivotieren. Was mache ich mit der vierten gleichung?

Vielen Dank für jede Hilfe.

Answer 1

Die drei ersten Gleichungen kann am ja umformen, dass zb x, y , z durch Terme in Abhängigkeit von w darstellbar sind.

dann in die 4. Glng einsetzen:

$$\sqrt{w^2+x^2(w)+y^2(w) +z^2(w)}=100$$

Comments

Ich glaube unser Dozent will darauf hinaus dass wir die Aufgabe mittels pivotieren lösen.

Das habe ich mit den ersten drei Gleichungen gemacht und erhalte:

w - 270z = -82

y + 115z = 54

x + 99z = 46

Ist das erstmal korrekt? Kann ich das irgendwie mit der vierten Gleichung verknüpfen?

Danke ;)

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Keine Ahnung wie das euer Dozent will.

Jedenfalls lässt sich das obere GLS so lösen, dass nur noch eine Variable vorkommt. Anders könnte ich nicht weitermachen mit der Einsetzung in die Betragsbedingung. Wenn da wieder alle Gäste auf der Party erscheinen, ist das nicht aufzulösen.

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Okay, also in Abhängigkeit von w erhalten wir folgende Gleichungen:

w= 42 + 2x -4y + 8z

w= 50 + 3x - 5y - 8z

w= 45 - x - 1,5y - 1,5z

Korrekt?

Die Norm bedeutet ja umgeschrieben ||v|| =√ v^Tv

Wie kann ich somit nun die Lösungsmenge bestimmen? Wie kann ich die nach w umgestellten Gleichungen in die vierte Gleichung einsetzen? Sorry, stehe bei dem Schritt wirklich auf m Schlauch. Ich danke dir.

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gemeint war :

x= blablablupp(w)

y=gugelwuschel(w)

z= humpeldumpel(w)

Dann kann meiner Erstantwort folgend alles unter die Wurzel gestülpt werden, unter der sich dann nur noch w als einzige Variable befindet und dann lässt sich mit etwas Glück auch eine bestimmter Wert für w bestimmen.

Wobei man überlegen sollte, ob es günstig ist alles nach w zu orientieren - schliesslich könnte die Orientierung nach x oder y Terme bescheren, die sich leichter nachbehandeln lassen. Oben hast du ja fast nach z orientiert - damit kannst du ja auch ruhig weitermachen, um nicht soviel Arbeit zu haben.

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Also ich habe die gleichungen jetzt noch mal umgestellt.

x= -21+w/2+2y-4z

y= 10-w/5+3x/5-8z/5

z= 30-2w/3-2x/3-3y/3

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Wie ist es möglich dass dann nur noch eine variable vorhanden ist?

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$$   w - 270z = -82$$$$y + 115z = 54$$$$x + 99z = 46 $$soweit warst du schon und es hat ja nicht viel gefehlt:
$$   w = 270z  -82$$$$y =- 115z + 54$$$$x =- 99z + 46 $$jetzt ist jede Variable durch z dargestellt

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Perfekt, danke. So hatte ich es auch schon umgestellt bzw. habe ich substituiert und somit z=k

Daraus folgt also:

w= -82 +270k

y= 54-115k

x= 46 -99k

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Und die Gleichungen setze ich nun in die vierte Gleichung ein?

Also Wurzel aus (-82+270k)² + (54-115k)².....

Oder wie? Hier weiß ich wirklich nicht weiter.  Aber bis hier hin schon mal vielen dank.

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Wozu aus z plötzlich k werden soll, erschliesst sich mir nicht - k wie kosmetisch könnte der Grund sein.

Ansonsten siehe meine Erstantwort, was ich nun zum zweiten Mal erwähne.

Setze die Gleichungen fertig ein, wie du schon grade angefangen hast, multipliziere aus, fasse zusammen, sortiere ... das alles.

Und versuche das leserlich zu posten, was du tust - sooo kompliziert ist das nicht, hier Gleichungen vernünftig einzugeben.

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Mit dem k ist es nur eine Angewohnheit durch unseren Dozenten. Bei unserer Berechnung belasse ich es beim z damit wir nicht durcheinander kommen.

Bei den Gleichungen unter der Wurzel handelt es sich um binomische Formeln oder?

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sehr richtig erkannt !

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$$ \sqrt { (-82 + 270z)^2 + (46 - 99z)^2 + (54 - 115z)^2 + z^2} $$

= $$ \sqrt {(6724 - 44280z + 72900 z^2) + (2116 - 9108z + 9801z^2) + (2916 - 12420z + 13225 z^2) + z^2  }  $$

= $$ \sqrt {11756 - 65808z + 95927z^2  } $$

Ist es bis dahin erst mal richtig oder bin ich schon auf m komplett falschen Weg?

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Der Weg ist richtig, aber irgendwo gibt es Probleme mit den Zahlenwerten - so kommt jedenfalls keine reelle Lösung.

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probier mal damit:
x = 239/15-(11 w)/30, y = 515/27-(23 w)/54, z = w/270+41/135

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Kannst du mir bitte vorerst verraten wie du darauf gekommen bist? Da kann ich nicht folgen. Auf die vorherigen Gleichungen bin ich durchs Pivotieren gekommen.

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Die oberen drei Gleichungen so auflösen, dass jede der Variablen allein durch w ausgedrückt wird. Meine Rede seit '33

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Ich verstehe den Schritt, dass du die Gleichungen wieder nach der Abhängigkeit von w aufgelöst hast.

Allerdings verstehe ich nicht wie du auf die Zahlen kommst. Sorry, ich bin verwirrt. Ich habe die ersten drei Gleichungen pivotiert (ich weiß, ich wiederhole mich) und habe somit die Gleichungen erhalten:

x= 46 - 99z

y= 54 - 115z

w= -82 + 270z

Demnach sind ja x,y und w meine abhängigen Variablen und lediglich z frei wählbar.

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Ich habe deine Berechnungen nicht kontrolliert.

Grundsätzlich ist es jedoch möglich, das Gleichungssystem nach jeder der vier Variablen aufzulösen. So wie Du das nach z gemacht hast und ich nach w kann das Hans nach x und Franz nach y tun.

Möglicherweise gibt es in einem der Fälle "bedienungsfreundliche" Zahlen für die Weiterberechnung.

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Aber da bist du ja laut deinen umgestellen Gleichungen in Abhängigkeit von w weder von den Ausgangsgleichungen ausgegangen noch durch den Pivotalgorithmus drauf gekommen oder? Ich verstehe deinen Ansatz, aber kann nicht nachvollziehen wie du hier drauf gekommen bist:

x = 239/15-(11 w)/30, y = 515/27-(23 w)/54, z = w/270+41/135

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Davon bin ich ausgegangen:

w - 2x + 4y - 8z = 42

w - 3x + 5y + 8z = 50

2w +2x+ 3 y+3z= 90

---und kann man umstellen zu

-2x + 4y - 8z = 42-w

-3x + 5y + 8z = 50-w

2x+ 3 y+3z= 90-2w

und nun nach x,y,z lösen, wobei w wie eine Konstante behandelt wird

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oder nach x:

w  + 4y - 8z = 42+2x

w  + 5y + 8z = 50+3x

2w+ 3 y+3z= 90-2x

oder nach y:

w - 2x  - 8z = 42-4y

w - 3x  + 8z = 50-5y

2w+2x +3z= 90-3y

oder nach z:

w - 2x + 4y  = 42+8z

w - 3x + 5y  = 50-8z

2w+2x+ 3 y= 90-3z