Herleitungsbeispiel p,q- Formel

Question

das habe ich im internet gefunden und verstehe es leider nicht.

Wir wissen, dass bei einer binomischen Formel in der Mitte 2ab steht. Unser a soll hier x sein, also muss p = b 2 sein, damit 2ab = px gilt. Damit würden wir zunächst (x + p 2 ) 2 erhalten. Ausmultipliziert ergäbe dies: (x + p 2 ) 2 = x 2 + px + p 2 2 Wir formen nun unsere Gleichung x 2 + px + q = 0 wie folgt um: x 2 + px + q = 0 x 2 + px + p 2 2 − p 2 2 + q = 0 

Answer 1

x^2  + p·x + q = 0

x^2  + p·x = - q

x^2  + p·x + (p/2)^2 = (p/2)^2 - q

(x + (p/2))^2 = (p/2)^2 - q

x + (p/2) = ± √((p/2)^2 - q)

x = - (p/2) ± √((p/2)^2 - q)

Warum jetzt genau die quadratische Ergänzung

(a + b)^2 = a^2 + 2·a·b + b^2

(x + (p/2))^2 = x^2 + 2·x·(p/2) + (p/2)^2 = x^2 + p·x + (p/2)^2

Comments

wenn wir eine q.E. z.b. bei der aufgabe x²+4x=0 durchführen, warum addieren wir dann nicht noch eine 4 zum x² hinzu ? x²+(4)+4x+4=4

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x² + 4x = 0

Ich brauche hier nur den Summanden der die binomische Formel vervollständigt.

(a + b)^2 = a^2 + 2·a·b + ...

a ist hier x und 2·b = 4 --> b = 2

(x + 2)^2 = x^2 + 2·2·x + 2^2 = x^2 + 4·x + 4

Die ersten Summanden stehen schon da. Ich brauch dann nur noch die 4 ergänzen

x² + 4x + 4 = 4

(x + 2)^2 = 4

x + 2 = ± 2

x = - 2 ± 2

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In dieinem Beispiel hast du auf der lnken Seite 8 hinzuaddiert
und auf der rechten Seite 4.

Die quadratische Ergänzung funktioniert wie folgt

x^2 + 4x = 0
Du faßt die linke Seite als binomische Gleichung auf an der noch etwas fehlt

a^2 + 2ab + b^2

x^2 = a^2
2ab = 4x
b^2 = ?

aus 1.) folgt
x = a
dann kann  2.)  reduziert werden zu
2b = 4
b = 2
für 3.) gilt
b^2 = 2^2

Dies ist die quadratische Ergänzung : 2^2
Diese wird auf der linken Seite einmal hinzuaddiert und abgezogen

x^2 + 4x + 2^2 - 2^2 = 0
( x + 2)^2 - 4 = 0
( x + 2)^2  = 4
x + 2 = ± √ 4 = ± 2
x = 0
x = -4

Die Kurzfassung ( zum Merken ) : Der Term muß vorliegen als

x^2 + b * x = c

" Die quadratische Ergänzung ist die Hälfte der Vorzahl von x  zum Quadrat. "
Quadratische Ergänzung : ( b / 2 )^2

Diese wird auf der linken und der rechten Seite addiert
x^2 + b * x + ( b / 2 )^2 = c + ( b / 2 )^2
( x + b / 2 )^2 = c + ( b / 2 )^2

mfg Georg

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ok, also geht es nur darum, die bin. form zu vervollständigen. das hat mich anfangs etwas irritiert, da man ja eigentl. nicht einfach die zahlen so hinsetzen kann, wie es einem beliebt.

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Man möchte ja die binomische Formel rückwärts anwenden. Dazu braucht man einen Term der so aussieht wie eine binomische Formel. Dazu fehlt eigentlich bei quadratischen Gleichungen immer nur der konstante Summand. Also der dritte Teil.

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genau, so weit habe ich das auch verstanden, nur wenn ich eine zahl vor dem x² zu stehen habe und ich den term in die normalform bringen möchte, muss ich die zahl vor dem x² ja auch durch alle anderen zahlen dividieren.
also worauf ich hinaus will ist, ob es von den gesetzen her erlaubt ist.

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nur wenn ich eine zahl vor dem x² zu stehen habe und ich den term
in die normalform bringen möchte, muss ich die zahl vor dem x²
ja auch durch alle anderen zahlen dividieren.

Nicht durch alle anderen Zahlen sondern nur durch den Vorfaktor von x^2

Beispiel

7 * x^2 + 3 * x = 4  | / 7
x^2 + 3/7 * x = 4 / 7

Die quadratische Ergänzung wäre (3/14)^2

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ach ich habs mir jetzt noch mal angeschaut und verstanden. danke für eure mühe.