Ich möchte berechnen, ob die Reihe Konvergiert, oder divergiert und falls sie Konvergiert, den Grenzwert berechnen. Ich würde das mit dem Wurzelkriterium machen, weil n im Exponent steht.
$$ \sum _{n=1}^{\infty}{ \left( \frac { 2n+3 }{ 3n+2 } \right)^n }$$
\(\sqrt [ n ]{ \left( \frac { 2n+3 }{ 3n+2 } \right)^n }=\left( \left( \frac {2n+3 }{ 3n+2 } \right)^n \right){ }^{ \frac { 1 }{ n } }\left( \frac {2n+3}{ 3n+2 } \right){ }^{ \frac { n }{ n } }=\left( \frac { 2n+3 }{ 3n+2 } \right) =\lim_{n\to\infty}\frac { 2n+3 }{ 3n+2 }=\frac { n(2+\frac { 3 }{ n }) }{ n(3+\frac { 2 }{ n }) }=\frac { 2 }{ 3 }\)
Da 2/3<1 ist, Konvergiert die Reihe und nun mein Grenzwert
Also bei mir kommt so ein komischer Wert raus \( a_1=1,a_2=\frac { 49 }{ 64 },a_3=\frac { 729 }{ 1331 },a_4=0,3811172428 \) . Ich weiß, dass die Folgenglieder für n->Infty gegen 0 konvergieren und somit ist der Grenzwert der Reihe ca 2,694450733 also wenn ich die ersten 5 Folgengieder zsm addiere... Wolframalpha sagt, dass es gegen 3,50207 konvergiert ..
