Der Graph einer Polynomfunktion 3.Grades besitzt an der Stelle \(x=3\) einen Extrempunkt und bei \(x=2\) einen Wendepunkt. Die Gleichung der Wendetangente lautet tw:\(3x+y=4\). Ermittle den Funktionsterm.
Die Koordinaten des Wendepunktes lassen sich über die Wendetangente bestimmen:
\(3\cdot 2+y=4\) →\(y=-2)\) W \((2|-2)\)
besitzt an der Stelle \(x=3\) einen Extrempunkt. Extrempunkte auf der x-Achse haben immer eine doppelte Nullstelle. Bei einer einfachen Nullstelle gäbe es nur einen Schnitt mit der x-Achse.
Ich fahre fort mit der Nullstellenform einer Polynomfunktion 3.Grades:
\(p(x)=a[(x-2)^2(x-N)]\\=a[x^3-Nx^2-6x^2+6Nx+9x-9N]\)
Um die Wendepunkteigenschaft anzuwenden, benötige ich die 2.Ableitung von \(p\)
\(p'(x)=a[3x^2-2Nx-12x+6N+9 ]\)
\(p''(x)=a[6x-2N-12 ]\)
\(p''(2)=a[12-2N-12 ]=0\)
\(N=0\)
\(p(x)=a[x^3-6x^2+9x]\)
Tangentensteigung beim Wendepunkt bestimmen:
\(p'(x)=a[3x^2-12x+9 ]\)
\(p'(2)=a[12-24+9 ]=-3a\)
\(-3a=-3\)
\(a=1\)
\(p(x)=x^3-6x^2+9x\)
Kontrolle, ob W \((2|-2)\) auf dem Graphen von \(p\) liegt:
\(p(2)=8-24+18=2\)
Also muss \(p\) um 4 Einheiten nach unten verschoben werden:
Darum bekommt der Graph den Namen \(f\):
\(f(x)=x^3-6x^2+9x-4\)
