Verständnisproblem zum Thema Relationen

Question

ich bin gerade dabei mir das Thema Relationen zu errarbeiten. Ich habe jetzt jedoch zwei Aufgaben, die ich nicht verstehe. Ich würde mich über hilfe sehr freuen.

Aufgabe 1:

Gegeben ist eine Menge A = {cat, dog, bird, rat} und die Relation

R = {(x, y) Λ AxA | x und y besitzen mindestens einen gemeinsamen Buchstaben}

Bem.: Die Position des Buchstabens spielt keine Rolle

1. Zeichnen Sie das Pfeildiagramm für die Relation R.

2. Ist die Relation R reflexiv?, symmetrisch?, transitiv?

Aufgabe 2:

Gegeben ist eine Menge M mit X, Y ∈ ℙ(M) kann nun folgende Relation definiert werden:

R = { (X, Y) ∈ ℙ(M) x ℙ(M)  |  X ⊂ M und Y = M \ X } (EDIT(Lu): ein Y durch X ersetzt)

Prüfen Sie ob R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist.

Frage:

das Grundproblem für mich liegt darin, das ich die mathematische Schreibweise von beiden Aufgaben nicht nachvollziehen kann. Vielleicht kann mir jemand kurz erklären wie dies zu lesen ist.

Gruß, Thorsten

Answer 1

" Vielleicht kann mir jemand kurz erklären wie dies zu lesen ist. "

Aufgabe 1:

Gegeben ist eine Menge A = {cat, dog, bird, rat} und die Relation

R = {(x, y) ∈ AxA | x und y besitzen mindestens einen gemeinsamen Buchstaben}

Lies " R ist die Menge aller Paare (x,y) aus der Menge AxA, die mindestens einen gemeinsamen Buchstaben besitzen"

Also R = { (cat, cat), (cat, rat), (rat,cat), (rat, rat), (rat, bird), (bird,rat), (bird, bird), (dog, dog) } (Sollten alle sein, aber schau nochmals selbst genaue hin)

Bem.: Die Position des Buchstabens spielt keine Rolle

1. Zeichnen Sie das Pfeildiagramm für die Relation R.

2. Ist die Relation R reflexiv?, symmetrisch?, transitiv?

Aufgabe 2:

Gegeben ist eine Menge M mit X, Y ∈ ℙ(M) kann nun folgende Relation definiert werden:

R = { (X, Y) ∈ ℙ(M) x ℙ(M)  |  X ⊂ M und Y = M \ Y }

Lies: "R ist die Menge aller Mengenpaare, die beide Teilmengen von M sind und für die zusätzlich gilt X ist (echte?) Teilmenge von M und Y ist 'M ohne Y'."

Beim blauen Teil kann etwas nicht stimmen. 

Wie habt ihr ⊂ definiert? 'echte Teilmenge' oder 'Teilmenge'. Im 2. Fall wäre die Potenzmengenschreibweise zu Beginn gar nicht nötig. 

Prüfen Sie ob R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist.

Comments

Hallo Lu,

erst einmal danke für deine ausführung. Du hast das super erklärt. jetzt verstehe ich auch wofür in Aufgabe 1 das x u. y steht. (Platzhalter für die jeweiligen kombinationen. Der rest ist jetzt klar.

Zu deiner Frage bei der Aufgabe 2. Wir haben das ⊂ als Teilmenge definiert. Warum dan die Potenzschreibweise unnötig wäre, verstehe ich jedoch nicht. Kannst du mir dies noch erklären?

Du hast recht. ich habe die Aufgabe falsch abgeschrieben. Zum schluß lautet es  Y = M \ X nicht Y.

Gruß, Thorsten

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R = { (X, Y) ∈ ℙ(M) x ℙ(M)  |  X ⊂ M und Y = M \ Y }

ℙ(M) ist ja die Potenzmenge von M. D.h. die Menge aller (echten und unechten Teilmengen von M). Daher steht links schon, dass X eine Teilmenge von M ist und rechts dann nochmals. Ausserdem macht Y = M\Y keinen Sinn. Das geht eigentlich nur, wenn M die leere Menge ist, sonst gibt's kein solches Y.

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Ok, ich hatte meinen Kommentar nochmals editiert. Das Y hatte ich wirklich falsch abgeschrieben, und muss durch X ersetzt werden (sorry).

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R = { (X, Y) ∈ ℙ(M) x ℙ(M)  |  X ⊂ M und Y = M \ X}

Aha. Jetzt ist das klarer.

Die beiden Mengen X und Y ergänzen sich also zu M und sind zudem elementfremd.

Bsp. M = {1,2,3,4,5}

X = {1,2} und dazu Y = {3,4,5}.

und umgekehrt

X = {3,4,5} und dazu Y = {1,2}.

Da sieht man bereits, dass Aus (X,Y) Element R folgt, dass auch (Y,X) Element R. Daher ist diese Relation symmetrisch. 

EDIT: Ich korrigiere mal deine Fragestellung.

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Erst einmal danke das du die Fragestellung editiert hast.

Was sich mir jedoch noch nicht erschließt ist deine Aussage .

Wie kann ich jetzt erkennen das aus (X,Y) Element R folgt und das diese Relation symmetrisch ist?

Dieser Punkt erschließt sich mir noch nicht.

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Wie kann ich jetzt erkennen das aus (X,Y) Element R folgt und das diese Relation symmetrisch ist? 

Du weisst, was symmetrisch ist? aus (X,Y) Element R folgt (Y,X) Element R.

Wenn nun Y (wie verlangt und oben 'vorgelesen') die Komplementärmenge von X ist, so ist automatisch X die Komplementärmenge von Y. q.e.d symmetrisch

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Ich möchte mich nochmals bei euch beiden für die Hilfe bedanken. Ich habe jetzt endlich beide Aufgaben verstanden. Auch der letzte punkt wurde mir nach einer kurzen pause klar.

Gruß, Thorsten

Answer 2

Gegeben ist eine Menge A = {cat, dog, bird, rat} und die Relation

R = {(x, y) Λ AxA | x und y besitzen mindestens einen gemeinsamen Buchstaben}

Bem.: Die Position des Buchstabens spielt keine Rolle

. Ist die Relation R reflexiv?, symmetrisch?, transitiv?

Hier musst du nur schauen:

reflexiv?,   Ist jeder mit sich selbst in dieser Relation ?

klar jeder besitzt mit sich selbst mindestens einen gem Buchst., sogar alle

symmetrisch?   wenn a mit b einen gem Buchstaben hat, dann natürlich

auch b mit a, also auch erfüllt

, transitiv?  wenn a einen gem. Buchst. mit b hat und

b einen mit c dann muss das bei a und c nicht unbedingt der Fall sein:

(cat,rat) ( rat,bird) aber nicht (cat , bird)