Zusammenhänge zwischen differenzierbaren Funktionen

Question

Aufgabe:

Seien \( n \in \mathbb{N} \) und \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) jeweils \( n \)-fach differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann auch \( f \cdot g n \)-fach differenzierbar ist mit

\( (f \cdot g)^{(n)}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) f^{(k)} g^{(n-k)} \)

Answer 1

Mit vollst. Induktion und Produktregel, etwa so:
Behauptung gilt für n=1, denn
f und g diffb. ⇒ f * g diffb. mit  (f*g) ' = f *g ' + f ' * g
                                                              =   f ⁽⁰⁾ * g⁽¹⁾ + f ⁽¹⁾ * g⁽⁰⁾

und wegen "1 über 0" = 1 und "1 über 1" = 1 ist dies die Summe für n=1.

Gelte also die Formel für n, dann ist zu zeigen: Sie gilt auch für n+1.

Seien also f und g je (n+1)-mal diffb. dann gilt:   f*g auch (n+1)-mal diffb. und

(f * g ) ⁽ⁿ⁺¹⁾ = (f * g ) ⁽ⁿ⁾ ' =  ( summe k=0 bis n  über   (n über k)*f^(k) * g^(n-k)  ) '

Die Ableitung der Summe ist aber die Summe der Ableitungen, also

= summe k=0 bis n  über    [ (n über k)*f^(k) * g^(n-k)  ] '

Das (n über k) ist ein konstanter Faktor, bleibt also stehen und das Produkt

wird mit der Produktregel abgeleitet, das gibt:

= summe k=0 bis n  über (n über k)* (   f^(k) * g^(n-k+1) +  f^(k+1) * g^(n-k)  )

und daraus machen wir 2 Summen:

summe k=0 bis n  über (n über k)*  f^(k) * g^(n-k+1)  + summe k=0 bis n  über (n über k)* f^(k+1) * g^(n-k) 

Jetzt muss man das ein wenig aufteilen, denn in der ersten Summe gibt es einen Summanden mit

f (0)*g(n+1) und dann kommen die, die in beiden Summen bezüglich der Ableitungen übereinstimmen und dann kommt noch der letzte Summand aus der zweiten Summe, das sieht dann so aus:

= (n über 0)*  f⁽⁰⁾ * g⁽ⁿ⁺¹⁾  +

summe k=1 bis n  über (n über k)*  f^(k) * g^(n-k+1)  + summe k=0 bis n-1  über (n über k)* f^(k+1) * g^(n-k)  +

+ (n über n)*  f⁽ⁿ⁺¹⁾ * g⁽⁰⁾ 

Bei der zweiten Summe lassen wir nun den Index statt von o bis n-1 von 1 bis n gehen, dann ist das:

= (n über 0)*  f⁽⁰⁾ * g⁽ⁿ⁺¹⁾  +

summe k=1 bis n  über (n über k)*  f^(k) * g^(n-k+1)  + summe k=1 bis n  über (n über k-1)* f^(k) * g^(n-k+1)  +

+ (n über n)*  f⁽ⁿ⁺¹⁾ * g⁽⁰⁾ 

Jetzt passen die beiden Summen zusammen und wir können wir eine daraus machen:

= (n über 0)*  f⁽⁰⁾ * g⁽ⁿ⁺¹⁾  +

summe k=1 bis n  über   [ (n über k)+(n über k-1)]*  f^(k) * g^(n-k+1)  

+ (n über n)*  f⁽ⁿ⁺¹⁾ * g⁽⁰⁾ 

Nach einer Formel für die Binomialkoeffizienten ist das in der eckigen Klammer (n+1 über k)

Also haben wir

= (n über 0)*  f⁽⁰⁾ * g⁽ⁿ⁺¹⁾  +

summe k=1 bis n  über    (n+1 über k)*  f^(k) * g^(n-k+1)  

+ (n über n)*  f⁽ⁿ⁺¹⁾ * g⁽⁰⁾ 

Und weil (n+1 über 0) =(n über 0) = (n über n) = (n+1 über n+1) = 1 ist, ist das also insgesamt

summe k=0 bis n+1  über    (n+1 über k)*  f^(k) * g^(n-k+1) 

Und das ist die zu beweisende Formel für n+1.  q.e.d.