Beweise zur Differenzierbarkeit

Question

Aufgabe:

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) Sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( 0, f \) in 0 differenzierbar und \( g(0)=0 \), so ist \( f \cdot g \) in 0 differenzierbar.

b) Sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig in \( 0, f \) in 0 differenzierbar und \( f(0)=0 \), so ist \( f \cdot g \) in 0 differenzierbar.

c) Sind \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar in \( 0, f(x) g(x)=x \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) und \( f(0)=0 \), dann gilt \( g(0) \neq 0 \)

d) Seien \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) und \( x \in \mathbb{R} . \) Die Funktion \( f \) ist genau dann in \( x \) differenzierbar, wenn der Grenzwert \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h} \) existiert.

Answer 1

a) Gegenbeispiel ist

f(x) = x^2 * sin(1/x) für x ungleich Null und f(0)=0

g(x)= x * sin(1/x) für x ungleich Null und f(0)=0

b) durch Betrachtung des Differenzenquotienten an der Stelle 0:

und dann GW für x gegen 0:

( (f*g)(x) - (f*g)(0)  )  /  ( x - 0)

= ( f(x)*g(x) - f(0)*g(0) )  /   x

= ( f(x)*g(x) - 0*g(0) )  /   x

=  f(x)*g(x)  /   x

= f(x) / x    *    g(x)   und weil f(0)=0

= ( f(x) - f(0) ) /  ( x - 0)   * g(x)

wegen diffbarkeit von f und Stetigkeit von g existieren für beide

Faktoren die GW'e und sind

f ' (0) * g(0) und das ist die Abl. von f*g bei x=0.

Comments

Ich denke, dass man die c) durch einen Widerspruchsbeweis beweisen kann: