Berechnen Sie den Differenzenquotienten für die Stelle x_{0} = 3 bei f(x) = |x-3|

Question

Aufgabe (Differenzenquotient und Differenzierbarkeit):

Gegeben ist die Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=|x-3| \)

b) Berechnen Sie den Differenzenquotienten \( \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \) für die Stelle \( x_{0}=3 \) und \( x>3 \) bzw. \( x<3 \).

c) Untersuchen Sie, ob die Funktion \( f \) an der Stelle \( x_{0}=3 \) differenzierbar ist.

Ansatz/Problem:

Da hab ich in der Prüfung bei Aufgabe b) für x₀ = 3 den Wert 1 rausbekommen. Wurde aber als falsch markiert.

Wie ermittle ich das korrekte Ergebnis für Aufgabenteil b?

Und die Funktion f ist nicht stetig an der Stelle 3, weil das eine Betragsfunktion ist mit dem Knick bei f(x)=0 und das ist bei f(3) = 0. Stimmt das?

Comments

Hi, die Funktion f ist an der Stelle x=3 durchaus stetig. Sie ist dort allerdings nicht differenzierbar.

Answer 1

Du erhältst   | x - 3 |    /   (x-3)  und
das ist =1 für x>3  aber es ist gleich -1 für x<3.
Stetig ist die schon, aber da für x gegen 3 der Diff.qoutient
keinen richtigen Grenzwert hat ( von rechts +1 und von links -1 )
ist f bei x=3 nicht differenzierbar.

Answer 2

aus der Skizze sieht man schon wie es sich verhält.



Und die Funktion f ist nicht stetig an der Stelle 3, weil das eine
Betragsfunktion ist mit dem Knick bei f(x)=0 und das ist bei f(3) = 0.
Stimmt das?

Nein. Die Stetigkeit an einer Stelle ist definiert durch
linker Grenzwert der Funktion = Funktionswert = rechter Grenzwert der Funktion
Für x0 = 3 gilt
0 = 0 = 0
Die Steigkeit ist gegeben.

Da hab ich in der Prüfung bei Aufgabe b) für x₀ = 3 den Wert 1
rausbekommen. Wurde aber als falsch markiert. 

Wie ermittle ich das korrekte Ergebnis für Aufgabenteil b?


Der Differenzenquotient ist also
linker Grenzwert -1
rechter Grenzwert 1
( sieht man ja schon in der Skizze - Steigung )

c.)
linker Grenzwert <> rechter Grenzwert => Nicht differenzierbar