Rekursionsformel zur Berechnung der Determinante einer regelmäßigen n x n Matrix.

Question

Entwickeln Sie eine Rekursionsformel zur Berechnung der Determinante der n x n Matrix A, wobei

$$ A = \left( \begin{array} { c c c c c c c } { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { - 1 } & { 5 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { - 1 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 5 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } & { 5 } \end{array} \right) $$

ist.

Answer 1

Das lässt sich relativ einfach mit dem Entwicklungssatz nach Laplace lösen.

Definiert man A_n als nxn-Matrix der entsprechenden Form, so erhält man entwickelt nach der ersten Zeile:

det A_n = 5*det A_n-1 + 1*det B_n-1

wobei B_n-1 die Streichungsmatrix ist, die entsteht, wenn man die erste Zeile und die zweite Spalte streicht, also

$$ B_{n-1} = \left( \begin{array} { c c c c c c } { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 5 } & { - 1 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { - 1 } & { 5 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } \\ { 0 } & { \ldots } & { \ldots } & { \ldots } & { 5 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { - 1 } & { 5 } \end{array} \right) $$

Entwickelt man nun diese Matrix nach der ersten Spalte, so bleibt als Streichungsmatrix gerade A_n-2 übrig!

Man erhält also:

det A_n = 5*det A_n-1 - 1*det A_n-2

Außerdem gilt A₁ = 5, also det A₁ = 5. Ferner muss (damit die Formel funktioniert) A₀ = 1 gesetzt werden. +

Dann können alle weiteren Determinanten mit der Formel bestimmt werden, so ist z.B.

det A₃ = 5*det A₂ - det A₁ = 5*(5*det A₁ - det A₀) - 5 = 5*(25-1) - 5 = 115

und

det A₄ = 5*det A₃ - det A₂ = 5*115 - (5*det A₁ - det A₀) = 5*115 - 24 = 575 - 24 = 551

Dass diese beiden Zahlen tatsächlich richtig sind, kann man nun z.B. bei A₃ noch mit der Sarrusregel prüfen. Es ergibt sich die gleiche Zahl.

Comments

sry ich checks no net... ich weiß wie man entwickelt... aber irgendwie nehm ich da immer als Vorfaktor die Zahl (mit jeweiligem Vorzeichen), die in der Zeile steht, nach der ich entwickel... also in dem Fall einmal +(-1) und einmal -(-1). Wie kommst du auf die 5? Und woher weiß man welche Determinante grade gemeint ist, wenn man einfach (A_n-2) schreibt?