Bestimme alle Häufungspunkte, wenn (a_(n):= -1^ ((n²-n)/2)*2^{1/n}+i^n

Question

Bestimmen allle Häufungspunkte der angegebenen

Folgen:

-1^(n²-n)/2*2^(1/n)+iⁿ

komme da nicht weiter, beim berechnen der Folgenglieder erhalte ich

für1= 2+i

für2=-√2 -1

für3= $$-\sqrt [ 3 ]{ 2 } -i$$

macht irgendwie nicht so sinn.. wie gehe ich vor???

Comments

Das kommt schon gut. Mache noch etwas weiter.

Bzw. nimm mal n=10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...

i^n hat die Periode 4

EDIT: der erste Summand konvergiert für gegen 1.

Daher erwarte ich 4 Häufungspunkte.

Answer 1

Hi,

Du must Dir überlegen, welche Werte \( i^n \) und der Ausdruck \( (-1)^{\frac{n^2-n}{2}} \) annehmen kann. Der erste Term kann nur die Werte \( 1, i, -1, -i \) und der zweite ist \( +1 \) wenn \( \frac{n^2-n}{2} \) gerade und \( -1 \) wenn \( \frac{n^2-n}{2} \) ungerade ist. Der Ausdruck \( 2^{\frac{1}{n}} \) wird auf jedenfall \( 1 \) für \( n \to \infty \).
Jetzt ist \( \frac{n^2-n}{2} \) gerade für \( n=0 \text{ und } n=1 \) sowie ungerade für \( n=2 \text{ und } n=3 \)
Danach wiederholt sich alles wieder. Das kombiniert mit den Werten für \( i^n \) ergibt dann vier Häufungspunkte, nämlich
$$ 2, 1+i, -2, -1-i $$

Answer 2

Das kommt schon gut. Mache noch etwas weiter.

Bzw. nimm mal n=10, 11, 12, 13, 14, 15, 16...

iⁿ hat die Periode 4

der erste Summand alterniert zwischen beinahe 1 und beinahe -1 für grosse n. NEIN!

EDIT: Da -1 im ersten Summanden nicht eingeklammert ist, bleibt das Minus beim Potenzieren immer stehen.

Daher erwarte ich 4 oder allenfalls 8 Häufungspunkte.

-1^(n²-n)/2*2^(1/n)+iⁿ 

1. Fall n = 4k, k>0.

-1 ^(16k²-4k)/2*2 ^(1/(4k))+i^{4k}

= -1*2^{1/4k} + 1

-------> -1 * 1 + 1 = 0. Ein Häufungspunkt ist 0.

2. Fall n = 4k+1, k>0. 

-1 ^{((4k+1)²-(4k+1)/2}*2 ^(1/(4k+1))+i^{4k+1}

= -1 * 2^ (1/(4k+1)) + i

------> -1 + i. Der 2. Häufungspunkt ist -1+i .

Ohne Klammern um (-1)

sind der 3. und 4. Häufungspunkt

-1 + (-1) = -1 und -1 +(-i) = -1-i.